2025.4.6考试总结

A

莫队板子，不过多赘述。

B

考场上直接用四维莫队做，从 \(l1、r1、l2、r2\) 依次按块排序，得到了50pts的高分？

优化：将块长设为 \(n^{3/4}\) ，复杂度为 \(O(n^{7/4})\) 可以过。

证明过程（来自 \(\rm{deepseek}\)）

对于四维莫队，设块长为 \(( B )\)，时间复杂度为：

\[T = O\left(nB + \frac{n^4}{B^3}\right) \]

为最小化 $ T $，令两项相等：

\[nB = \frac{n^4}{B^3} \implies B^4 = n^3 \implies B = n^{3/4} \]

此时时间复杂度为：

\[T = O(n \cdot n^{3/4}) = O(n^{7/4}) \]

结论：对于 \(d\) 维的莫队，一般情况下块长取 \(n^{1-1/d}\) 最优。

C

带修莫队。开的第二道，周六上午刚写出来，各种坑都记忆犹新，没有挂分。

主要思路将时间当作第三维进行莫队，注意数组开 \(1e6+5\)，块长为 \(n^{2/3}\)。

D

考场写的暴力。从取模入手，对于一个子串 S[l..r]S[l..r]，其数值可以表示为：\(num(l,r)=(S[l]×10^{r−l}+S[l+1]×10^{r−l−1}+⋯+S[r])mod  p\)

则题目条件可改为 \(num(l,r)≡0(mod\ p)\)，然后通过预处理前、后缀数组快速计算 \(num\)。

此时合法的区间 \(l,r\) 满足 \(suf[l]≡suf[r+1]×10^{-(r−l+1)}mod\ p\)（\(suf\)为后缀数组），离散化后用莫队做即可。