简单数学与位运算

本文经 @sLMxf 转载：

整除和余数

• 以下 \(x、y、a\) 均为整数。
• 存在整数 \(k\)，使得 \(x = ky\)，则有 \(y|x\)（ \(y\) 整除 \(x\) ），若 \(y>0\) 则称 \(x\) 是 \(y\) 的倍数，\(y\) 是 \(x\) 的因数。
• 如果 \(x = ky + a\)，则称 \(a\) 为 \(x/y\) 的余数，写作 \(a = x % y\)，当 \(a = 0\) 当且仅当 \(y|x\)。

同余

• 如果 \(x \% z = y \% z\) ，则我们称 \(x\) 和 \(y\) 对 \(z\) 同余，记作 \(x \equiv y \pmod z\)。
• 如果 \((x − y)\) 是 \(z\) 的倍数，那么 \(x\) 和 \(y\) 对 \(z\) 同余。
  证明：记 $x = cz + a,y = dz + b（0 \le a,b < z) $ 则 \(x − y = (c − d)z + a − b\)，由于 \((x − y)\) 是 \(z\) 的倍数，所以 \((a − b)|z\)，而 \(0 \le a,b < z\)，故易得 \(a = b\)，所以同余。
• 如果且 \(a \equiv b \pmod m,c \equiv d \pmod m\) ，则 \(a\pm c \equiv b\pm d \pmod z\)，证明雷同上面。
• 乘号同理，但是除法不行。
• 如果 \(a \equiv b \pmod m\)，则 \(a^n \equiv b^n\pmod m\)。

取余运算

• \((a + b) \% m = (a \% m + b \% m) \% m\)
• \((a − b) \% m = (a \% m − b \% m \color{red}{+ m}\color{black}) \% m\)
• \((a \times b) \% m = (a \% m \times b \% m) % m\)
• \(a^b \% m = (a \% m)^b \% m\)
• 这些等式可以用在需要取模，且数字会经过多次运算的题目中，防止中间变量超出数据范围。

质数

• 只能被 \(1\) 和自己整除的数,称为质数
• 当 \(N\) 充分大时，\(1\) ~ \(N\) 范围内的质数个数约为 \(N/\log N\)。
• 在某个正整数 \(N\) 附近找质数，能够在 \(\log N\) 期望时间内发现一个质数。
• 如何判断一个整数 \(n\) 是否为质数：\(2\) 到 \(\sqrt{n}\) 试除，发现约数则不是质数，复杂度 \(O(\sqrt{n})\)
• \(a\) 和 \(n/a\) 中至少有 \(1\) 个数不超过 \(\sqrt{n}\)，完全平方数的情况 \(2\) 个数都等于 \(\sqrt{n}\)。

筛法（埃式筛）

• 在学数组的时候，我们学过一个判断 \(1\) ~ \(n\) 是否为质数的方法：从小到大，依次将每个质数的倍数删去（若遍历到一个数时，其没有被删去，则可知这个数是质数），最终留下的全是质数。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true)
            for(long long j=(long long)i*i;j<=n;j+=i)
                f[j]=false;
}

• \(j\) 从 \(i\times i\) 开始是因为 \(2\times i\)、\(3\times i\) 等数字在 \(i=2,i=3\) 的时候已经被枚举过了。
• 时间复杂度 \(O(n\log\log n)\)。

筛法（线性筛）

• 数字 \(30\) 还是被筛了多次（\(3\times 10、2\times15、5\times 6\)）。如果能保证每个合数都只被它的最小质因数筛掉就好了。
  比如 \(2\) 筛掉 \(4、6、8、10、12\cdots\)
  比如 \(3\) 筛掉 \(9、15、21\cdots\)
  比如 \(5\) 筛掉 \(25、35、55\cdots\)
• 我们记求解到 \(i\) 的质数数组为 \(p\)，则对于每个数字 \(i\)，我们希望 \(i\times p_1、i\times p_2\) 等数字都被筛掉。这样一定是能筛干净的，因为合数 \(a=\) 某个质数 \(b\times\) 另一个数 \(c\)，我们一定能在枚举到每个合数前，枚举到比它小的 \(c\)，这样当 \(p_j=b\) 时，\(a\) 就被干掉了。
• 每个合数还是没有只被它的最小质因数筛。
• 如 \(60\)，被 \(3\times 20\)干掉一次，被 \(15\times 4\)干掉一次。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true) p[cnt++]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
            f[p[j]*i]=false;
}

• 内层循环加上一句if(i%p[j]==0)break;即可。为什么？
• 此时，比 p[j] 小的质数 p[k] 不满足 p[k] \(|i\)，且 \(i\) 的所有质因数肯定都比 p[j] 大，因为如果有小的那 \(j\) 早就被停在前面了。故被筛掉的 \(i\times\) p[k] 的最小质因数肯定是 p[k]。
• 同理可证，设有比 p[j] 大的质数 p[l] ，则删 p[l] \(\times i\) 一定会出现重复，因为假设 p[l] \(\times i /\) p[j] 是 \(x\)，当 \(i\) 枚举到 \(x\) 时候，\(x\times\) p[j] 又会把这个数字筛一次。
• 时间复杂度 \(O(n)\)。

f[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=true;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
        if(f[i]==true) p[cnt++]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        { 
            f[p[j]*i]=false;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
}

唯一分解定理

• 任何大于1的正整数n仅能以唯一方式分解为有限质数的乘积：
• \(n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \cdots \times p_t^{e_t}\)
• 其中 \(p_i\) 是质数，\(e_i\) 是正整数，且 \(i\) 和 \(\sum e_i\)都是 \(\log n\) 数量级别的。
• 根据乘法定理易得 \(n\) 的因数个数为 \((e_1+1)\times (e_2+1)\times\cdots\times(e_t+1)\)。
• 还能求出 \(n\) 的因数和为 \((p_1^{e_1}+p_1^{e_1-1}+p_1^{e_1-2}+\cdots +p_1)(p_2^{e_2}+p_2^{e_2-1}+p_2^{e_2-2}+\cdots +p_2)\cdots (p_n^{e_n}+p_n^{e_n-1}+p_n^{e_n-2}+\cdots +p_n)\)。
• 算术基本定理是一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——质数的研究。

质因数分解

• \(2\) 到 \(\sqrt{n}\) 都试一下，如果能除的尽 \(n\) 就用 while 除，要把次数记下来。
• 最后剩下的数字如果步数 \(1\) ，一定是最大的质因数。

gcd 和 lcm

• 若 \(m|x\) 且 \(m|y\) ，称为 \(m\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的公因数。最大的 \(m\) 叫最大公因数 \((gcd)\)。
• 若 \(x|n\) 且 \(y|n\)，称为 \(n\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的公倍数。最小的 \(n\) 叫最小公倍数 \((lcm)\) 。
• 设 \(d = \gcd(x,y)\)，那么 \(d\) 的唯一分解中任意质数的指数 \(e_i\) 为 \(x,y\) 的唯一分解中此质数指数的 \(\min\)。
• 设 \(e = lcm(x,y)\)，那么 \(e\) 的唯一分解中任意质数的指数 \(e_i\)为 \(x,y\) 的唯一分解中此质数指数的 \(\max\)。
• 比如 \(\gcd(240,180)=60\)，分解质因数如下，发现 \(60\) 的质因数中 \(2\) 和\(3\)的指数取得是上面两个数分解 \(2\) 和 \(3\) 的指数的最小值
  • \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1\)
  • \(240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1\)
  • \(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
• \(lcm\) 则是取最大值，易得 \(\gcd(x,y) \times lcm(x,y) = x \times y\)

位运算

• \(\&\) 运算：二进制下进行二元运算，每一位全 \(1\) 则 \(1\) ，反之为 \(0\)。性质：\(a\&b\le \min(a,b)\).
• \(|\) 运算：二进制下进行二元运算，每一位有 \(1\) 则1，反之为 \(0\)。性质：\(a|b\ge \max(a,b)\).
• ^ 运算：二进制下进行二元运算，每一位不同则 \(1\)，反之为 \(0\)。性质是自己就是自己的逆运算。
• \(\sim\) 运算：一元运算符（和符号一样），让二进制下的每一位都取反（包括符号位）。
• \(<<\)运算：进制下把每一位向左平移，低位用 \(0\) 补足。
• \(1<<n\) 等价于 \(2n\)，\(x<<n\) 等价于 \(x \times 2n\)
• \(>>\)运算：进制下把每一位向右平移，低位越界则舍弃。
• \(n>>1=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)
• 注意位运算\(\color{red}优先级很低\)，搞不清就打括号！

一些操作

• \(lowbit(n)\) 表示表示二进制下 \(n\) 的最低的一个 \(1\) 它后面的 \(0\) 组成的数.
• \(lowbit(n)=(n)\text{ and }(-n)\)，原理自己想。
• \(popcount(n)\) 表示二进制 \(n\) 有多少位是 \(1\)，原理自己想。

int ans=0;
while(n)
{
    ans++;
    n-=lowbit(n);
}
return ans;