同余

欧几里得算法(exgcd)

简介

用于求解 \(ax+by=gcd(a,b)\)，在求 \(gcd\) 的过程中进行求解。

原理

由辗转相除法的过程我们可以得到：

\[ax_1+by_1=gcd(a,b)\\ bx_2+(a \bmod b)y_2=gcd(b,a\bmod b)\\ 由欧几里得定理可知：gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\\ 所以 ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2\\ 又因为 a \bmod b=a-(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b )\\ 所以 ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)\times b)y_2\\ 化简得 ax_1+by_1=ay_2+b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)\\ 因为 a=a,b=b，所以 x_1=y_2,y_1=x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2\\ 将 x_2,y_2不断带入递归求解直至gcd为0是递归x=1,y=0回去求解。 \]

模板

1. 带gcd

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }//正常求解gcd
    int g=Exgcd(b,a%b,x,y);
    //---------------//求解 exgcd
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    //---------------//
    return g;
}

2. 不带gcd

void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)x=1,y=0;
    else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}

值域分析

\(ax+by=gcd(a,b)\)的解有无数个，有的会爆 long long，但当 \(b\ne 0\) 时，可行解必有 \(\lvert x \rvert\le b,\lvert y\rvert\le a\)

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乘法逆元

定义

若 \(a\times x≡1(\bmod b)\) 且 \(a\) 与 \(b\) 互质，则称 \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记做 \(a^{-1}\)，也称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\bmod b\) 意义下的倒数。
所以 \(a/b(\bmod p)=(b^{-1}\times a)\bmod p\)

求法

扩展欧几里得

当 \(a,p\) 互质，\(p\) 不是质数时可用。

void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(!b)x=1,y=0;
    else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int main()
{
    int x,y;
    Exgcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    printf("%d\n",x);//x是a在mod p下的逆元
}

线性算法

首先我们知道 \(1^{-1}≡1(\bmod p)\\\)
设 \(k\times i+r=p(1<r<i<p)\\\)
则

\[k\times i+r≡0(\bmod p)\\ k\times r^{-1}+i^{-1}≡0(\bmod p)\\ i^{-1}≡-k\times r^{-1}(\bmod p)\\ i^{-1}=-⌊p/i⌋\times(p\bmod i)^{-1}(mod p) \]

于是我们可以写出如下代码

    a[1]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)
        a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;