UVA378 题解

非常好计算几何题。

本题前置知识：一次函数、直线方程等。

设两直线的解析式分别为 \(f(x)=y=k_1x+b_1,g(x)=y=k_2x+b_2\)，\(k_1\) 和 \(k_2\) 为斜率，\(b_1\) 和 \(b_2\) 为截距。

相交

若两直线相交，则它们的斜率肯定不相等，此时通过公式 \(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\) 可以求出两直线的斜率，\(b=y-kx\)，解方程求出 \(k\) 与 \(b\)。因为两直线有交点，所以此时 \(f(x)=g(x)\)，则有：

\[\begin{aligned}k_1x+b_1&=k_2x+b_2\\k_1x-k_2x&=b_2-b_1\\x(k_1-k_2)&=b_2-b_1\\x&=\dfrac{b_2-b_1}{k_1-k_2}\end{aligned} \]

求出 \(x\) 之后，代入随便一个函数就能求出 \(y\)。

重合

若两直线重合，则它们的斜率与截距都相等，用上文两个公式求出后判定是否相等即可。

平行不重合

此时两直线的斜率相等，但截距不等。

特判

上文我们讨论的都是 \(x_1 \ne x_2 \land x_3 \ne x_4\) 的情况，但还存在 \(x_1=x_2 \land x_3 \ne x_4\) 等情况，此时如果无脑套公式，输出就会爆 nan，原因是 \(x_1-x_2=0\)，\(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y_1-y_2}{0}\)，我们就要对于不同的 \(x\) 的值，进行分讨。

\(x_1=x_2 \land x_3 \ne x_4\)

此时两直线的斜率一定不等，存在交点 \((x_1,g(x_1))\)。先求出 \(k_2\) 和 \(b_2\)，然后求出 \(g(x_1)\) 就行。

\(x_1 \ne x_2 \land x_3 = x_4\)

同理，交点为 \((x_3,f(x_3))\)。

\(x_1 = x_2 \land x_3 = x_4\)

这种情况下，两直线的斜率都是无限大（相等），只存在平行和重合的两种情况，若 \(b_1=b_2\)，则为重合，否则为平行。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

double n, x[10], y[10];
double k1, k2, b1, b2, sol, solx, soly;

int main() {
	
	cin >> n;
	puts("INTERSECTING LINES OUTPUT");
	while (n--){
		for (ll i = 1; i <= 4; ++i) {
			cin >> x[i] >> y[i];
		}
		
		if (x[1] == x[2] && x[3] != x[4]) {
			k2 = (y[3] - y[4]) / (x[3] - x[4]);
			b2 = y[3] - x[3] * k2;
			solx = x[1];
			soly = solx * k2 + b2;
			printf("POINT %.2lf %.2lf\n", solx, soly);
		}
		else if (x[1] != x[2] && x[3] == x[4]){
			k1 = (y[1] - y[2]) / (x[1] - x[2]);
			b1 = y[1] - x[1] * k1;
			solx = x[3];
			soly = solx * k1 + b1;
			printf("POINT %.2lf %.2lf\n", solx, soly);
		}
		else if (x[1] == x[2] && x[3] == x[4]) {
			if (x[1] == x[3]) puts("LINE");
			else puts("NONE");
		}	
		else {
			k1 = (y[1] - y[2]) / (x[1] - x[2]);
			k2 = (y[3] - y[4]) / (x[3] - x[4]);
			b1 = y[1] - x[1] * k1;
			b2 = y[3] - x[3] * k2;
			if (b1 == b2 && k1 == k2) puts("LINE");
			else if (b1 != b2 && k1 == k2) puts("NONE");
			else {
				solx = (b1 - b2) / (k2 - k1);
				soly = solx * k1 + b1;
				printf("POINT %.2lf %.2lf\n", solx, soly);
			}
		}	
	}
	puts("END OF OUTPUT");
	
	return 0;
}