UVA11646 题解

数学推柿子题。

题意：给出一条跑道长和宽的比例，求这个跑道长和宽实际的长度（跑道的两弧和两长相加等于 \(400\)）。

如图，\(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}+AD+BC=400\)，很明显 \(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},AD=BC\)，则有 \(\overset{\frown}{AB}+AD=\overset{\frown}{CD}+BC=200\)。

先约定一些符号：比例长为 \(x\)，比例宽为 \(y\)。

首先可以通过 \(400\) 减去两弧长得到两边长。在角度制下，弧长为 \(\dfrac{n^{\circ}\pi r}{180}\)，其中 \(n\) 为角度，\(r\) 为半径，这题中的 \(r\) 即为 \(AE,BE,CE,DE\)，所以

\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\dfrac{\angle AEB \times \pi \times AE}{180}=\dfrac{\angle CED \times \pi \times CE}{180} \]

但这题需要在弧度制下讨论，因为 \(1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180}\mathrm{rad}\)，所以

\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\angle AEB \times AE=\angle CED \times CE \]

因为 \(\angle AEB\) 与 \(\angle CED\) 是 \(\angle EAD,\angle EDA\) 的外角，则

\[\begin{aligned}\angle AEB=\angle CED&=2\times\angle EAD=2\times\angle EDA\\&=2\times\arctan \dfrac{CD}{AD}=2\times\arctan\dfrac yx\end{aligned} \]

根据勾股定理可得 \(AE=CE=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\)，则有

\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=2\times\arctan\dfrac yx\times \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}=\sqrt{x^2+y^2}\times \arctan\dfrac yx \]

所以

\[\sqrt{x^2+y^2}\times \arctan\dfrac yx+x=200 \]

然后输出 \(\dfrac{200}{\sqrt{x^2+y^2}\times \arctan\dfrac yx+x}\) 分别与 \(x,y\) 的乘积即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

double l, w;
double f(double x, double y) {
    return 200 / (sqrt(x * x + y * y) * (atan(y / x)) + x);
}

int main() {
    
    for (int i = 1; ~scanf("%lf : %lf", &l, &w); i++) {
        printf("Case %d: %.10lf %.10lf\n", i, f(l, w) * l, f(l, w) * w);
    }
    return 0;
}