[Luogu && ATcoder] AT_abc144_d 题解

AT_abc144_d 题解

题意如下

其中 \(a\) 是底边长，\(b\) 是容器的高，\(x\) 是水的体积。
现在要把它倾斜，有三种情况。

图 1

图 2

图 3

---

前置知识

做这题你首先要知道三角函数、反三角函数、弧度制等。
三角函数中常用的有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本题只用正切函数就可以 AC，正切函数在课本上的定义如下（出自人教九下数学）：


三角函数还有一个在平面直角坐标系里的定义，在这里不讲。

那么什么是反三角函数？
我们知道了一个角的大小，就可以利用三角函数推出三角形两边的比值，
那反过来，能不能用三角形两边的比值推出角的大小？当然彳亍！
我们用反三角函数来求角的大小。

反三角函数是三角函数的反函数。
反函数即定义域（函数自变量的取值范围）和值域（函数因变量的集合，即 \(y\) 值的集合）互换的函数。
要表示一个三角函数的反函数，用 \(\operatorname{arc}+\) 函数名或在三角函数与自变量中间加上上标“\(-1\)”即可。
如正切函数，用 \(\arctan a\) 或 \(\tan^{-1}a\) 来表示反正切函数（\(a\) 是一个数）。

例：已知 \(\tan \theta=1\)，求 \(\theta\) 的大小。
这里就可利用反正切函数计算，
\(\because\tan45^\circ=1\)，
\(\therefore\theta=\arctan 1=45^\circ\)。

在 C++ 的 cmath 库里，有一个函数 atan()，可以用它来计算一个数的反正切函数，结果是一个弧度数，（弧度制是表示角的大小的方法之一）但输出结果要求是角度，这时我们就要把弧度转换为角度。
角度与弧度的换算如下（\(\operatorname{rad}\) 为弧度单位，出自人教数学必修一 A 版）：

也就是说，要把弧度数转换为角度，只要把这个弧度数乘 \((\dfrac{180}{\pi})\) 即可。

如果还是看不懂 那去外面看吧
反函数 弧度制 三角函数 反三角函数

---

回归正题

先设出几个要用的变量：
容积 \(v=a^2b\)；
角度 \(ang\)；
\(m=\) 图 1 中的 \(AP\)；
\(h=\) 图 2、图 3 中的 \(CP\)。

---

先看第一种情况

这种情况下，\(x>\dfrac{v}{2}\)。
\(PD\parallel EF\)，\(BC\parallel AD\)。
由“两直线平行，同位角相等”可得 \(\angle BCE=\angle ADP\)。
也就是说，\(\tan\angle BCE=\tan\angle ADP=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{m}{a}\)。
我们只要求出 \(\arctan \dfrac{m}{a}\) 再转换为角度即可。
求 \(m\)，可以先把剩余体积（即 \(v-x\)）乘 \(2\)，当作一个正方体，因为正方体的体积为边长的三次方，所以将剩余体积除容器底面积（\(a^2\)）就可得到 \(m\)。
即 \(m=\dfrac {2(v-x)}{a^2}\)。
因为这个容器是个长方体，所以 \(AD=BC=a\)，所以 \(\arctan \dfrac{m}{a}=\arctan \dfrac{2(v-x)}{a^3}\)，\(ang=\dfrac{180}{\pi}\times\arctan \dfrac{2(v-x)}{a^3}\)。

---

第二、三种情况

由于这两种情况本质上是一样的，所以放在一起讲。


这种情况下，\(x\leqslant\dfrac{v}{2}\)。
这里要求出 \(\tan \angle BCE\) 和第一种情况类似，\(PD\parallel EF\)，
由“两直线平行，内错角相等”可得 \(\angle BCE=\angle DPC\)。
即 \(\tan\angle BCE=\tan\angle DPC=\dfrac{DC}{PC}=\dfrac{b}{h}\)。
求 \(h\)，先求 \(2x\)，得到一个长方体。
长方体的体积 \(=\) 长 \(\times\) 宽 \(\times\) 高，这里的高就是 \(h\)，所以长 \(\times\) 宽 \(=ab\)，即 \(h=\dfrac{2x}{ab}\)。
所以 \(\arctan\dfrac{b}{h}=\arctan\dfrac{ab^2}{2x}\)，\(ang=\dfrac{180}{\pi}\times\arctan\dfrac{ab^2}{2x}\)。

---

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,x,ang,v,m,h;//ang为角度，v为容积，m为AP，h为CP 
const double pi=3.14159265358979;//定义pi
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);//两行是给cin和cout加速，可删
	cin>>a>>b>>x;
	v=a*a*b;
	if(x>v/2){//第一种情况
		m=(v-x)*2/(a*a);
		ang=atan(m/a)*(180/pi);//求出反正切函数的值，弧度化为角度
	}
	else
	if(x<=v/2){//第二、三种情况
		h=2*x/b/a;
		ang=atan(b/h)*(180/pi);
	}
	printf("%.10lf",ang);//要输出10位小数，这at题不用换行(?
	return 0;//再见
}

化简：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,x,v,pi=3.14159265358979;
int main(){
	cin>>a>>b>>x;
	v=a*a*b;
	if(x>v/2){
		printf("%.10lf",atan((v-x)*2/(a*a*a))*(180/pi));
	}
	else if(x<=v/2){
		printf("%.10lf",atan(a*b*b/2/x)*(180/pi));
	}
	return 0;
}