手撕三角函数根式解 || 数雪

尽请期待 frp 手撕 \(\sin 114514^\circ,\cos 114514^\circ,\tan 114514^\circ,\sec 114514^\circ,\csc 114514^\circ,\cot 114514^\circ\) 根式解，或许会有 \(1919810^\circ,361361^\circ\) 等。

鲜花：homo、inm、114514 标识符不合法。

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求 \(\sin \theta,\cos \theta,\tan \theta,\sec \theta,\csc \theta,\cot \theta\)。

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由于巨佬 wzh 建议手撕他的 UID 的三角函数值，那好，先撕他的（

\(\theta = 648933^\circ\)。

\(\huge \sin \theta\)

由诱导公式得，\(\sin 648933^\circ = \sin (648933^\circ \bmod 360^\circ) = \sin 213^\circ = -\sin 33^\circ\)。

则有 \(-\sin 33^\circ = -\sin (15^\circ+18^\circ)\)。

由 \(S_{(\alpha + \beta)}\) 得，\(\sin (15^\circ+18^\circ)=\sin 15^\circ \cos 18^\circ + \cos 15^\circ \sin 18^\circ\)。

由卡西欧计算器得，\(\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}\)，\(\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}\)。

现在就是要求 \(18\) 度的两个三角函数根式解了，好麻烦这玩意。

由诱导公式得，\(\sin 36^\circ = \cos 54^\circ\)

则由二倍角公式、三倍角公式得

\[2\sin 18^\circ \cos 18^\circ = 4\cos ^ 3 18^\circ - 3 \cos 18^\circ \]

\[2\sin 18^\circ = 4\cos^2 18^\circ - 3 \]

\[2\sin 18^\circ = 2\cos^2 18^\circ-1 + 2\cos^2 18^\circ-1-1 \]

\[2\sin 18^\circ = 2\times(1-2\sin^2 18^\circ)-1 \]

\[4\sin^2 18^\circ+2\sin 18^\circ - 1 = 0 \]

设 \(\sin 18^\circ=x\)，则有

\[4x^2+2x-1=0 \]

解方程得

\[x_1 = \dfrac{\sqrt 5-1}{4},x_2 = \dfrac{\sqrt 5+1}{4} \]

由于 \(x_2\) 的值大于 \(0.5\)，即 \(\sin 30^\circ\)，而 \(\sin 18^\circ\) 不可能会大于 \(\sin 30^\circ\)，所以方程的解为 \(\dfrac{\sqrt 5-1}{4}\)。
由公式 \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\) 得，

\[(\dfrac{\sqrt 5-1}{4})^2+\cos^2 18 = 1 \]

解得 \(\cos 18^\circ = \dfrac{\sqrt {10+2\sqrt 5}}{4}\)。

所以 \(\sin 648933^\circ=-\sin (15^\circ+18^\circ)=-\dfrac{\sqrt {60+12\sqrt 5}-\sqrt{20+4\sqrt 5}+\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt 6 - \sqrt 2}{16}\)。

我超累死了整到晚上十一点半，剩下五个函数先咕着罢。（\(\sin 648933^\circ\) 好像可以化简，也先咕着