7.24 之后的考试总结

7.24

\(100+100+100+0=300\)。

整体：前三题发挥稳定，最后一题确实超出了我的知识范围，但是较为简单的 30 pts 没有细想，比较可惜。

T1：

两个 0-1 串，每次选中两个串上的两个等长（位置不一定相等）区间，询问两个区间不相等的位置数量，对 \(2\) 取模。

Solution：考虑对 2 取模经典问题模型，这类问题有一些有趣的解决方案：

第一个是考虑异或操作，因为异或就是模 \(2\) 意义下的加法，而且有较多性质。

第二个是考虑消掉一些重复（或者可以一一对应）的项来达到正确的复杂度，具体说根据实际情况考虑分治，meet-in-the-middle 等算法。

回到本题中，本题较简单，因为发现两数不同就意味着异或为 \(1\)，有奇数个也意味着不同数量的异或为 \(1\)，考虑异或的结合律，则答案就是把选中部分全部异或。

维护前缀和即可。

T2：

在 \((n+1)\times (m+1)\) 的点阵图中选中 \(k\) 个点，满足：

1. 它们在一条直线上；

2. 相邻两点距离不小于 \(d\)。

求满足条件的方案数。

多测，\(n,m,d\le 500,k\le 50,T\le 20\)。

Solution：枚举数数题。

考虑枚举左下端点和右上端点，则此时方案数较为好计算，考虑使用插板法，并预处理组合数，复杂度 \(n^2m^2T\) 真美丽。

但是发现其实枚举端点是没啥意义的，因为答案只和 \(\Delta x,\Delta y\) 有关。

考虑枚举 \(\Delta x,\Delta y\) 并计算每一个的贡献次数，复杂度回到 \(nmT\)。

T3：

给定一棵以 \(1\) 为根的有根树，你可以任选起点，每次向某个祖先或者子树内某个点跳，但是不能重复经过已经去过的点，问最多能走过多少个点。

Solution：

考虑二叉树，发现中序遍历挺对的，难道一定有解全覆盖？

并不是。菊花图就不是。

但是我们发现答案形如：解决一个子树，回到一个祖先，解决另一个子树并把没解决的部分挂上去。

选那两个子树呢？肯定是最大的两个，故每次操作形如吸收所有子树的答案并取最大的两个合并再加 \(1\)。

于是使用 set 启发式合并以获得 \(O(n\log ^2 n)\) 的复杂度。

7.27

\(100+100+100+0=300\)

整体发挥稳定，该做起的都做起了，最后一题确实抽象！

在错误大样例干扰下通过，证明了自己对大样例的去依赖性（？）

T1：数轴上共 \(n\) 个点，你可以选择 \(2m\) 个相连成 \(m\) 条线段，求总长度最小值。

Solution：显然选相邻点的点对最优。

那么变成在 \(n-1\) 个点对中选 \(m\) 个，位置上不能相邻，求最小代价。

这个是反悔贪心经典例题。

不过作为 T1，数据很小，直接 \(dp\) 即可通过。

T2：一个长为 \(n\) 的排列，一些位置为 \(0\) 表示待填充，现在可以任意删除一个，再填充所有 \(0\)，使得没有重复元素情况下，序列字典序尽量小。

Solution：

CF 味很重的一道题目。

字典序基本上肯定按位贪心。

然后简单分类讨论即可。

T3：虚树题，来不及写清楚，不过运用了伸缩树的性质，做法是考虑维护 dfs 序相邻的 LCA 集合。

T4：神秘 DP，没人做出，只好跳过。

8.11

\(40+0+91+40=171\)。

整体：不挑战，怕战胜，困困困，难难难。

T1 被 windows 背刺，以后 ull rand 还是都写四个吧。

T2 会了但是困，不想写

T3 没啥说的，原。

T4 有想法，但是码力不够考场上肯定也写不出来。

从 T1 拓展学习了 Xor-Hash。

8.21

\(20+100+70+20=210\)。

唐唐唐。

怎么 fsfdgdg 当时会 A 啊。

然后就是联考素质未知，所以难度很可能跟顺序毫无关联，之后如果搞不出 T1，考虑签到可能在后面，不要慌，也不要死磕在一道题上。

但是，说签到，让我看看是谁不会 meet in the middle？哦，是我！

可能还是被顺序诈骗了吧。

T3：唐题，因为 \(n\le 40\)，考虑折半搜索，就简单了）

T2：线段树 / 倍增简单题，你说我糊线性图啥呢。

T1：很有趣的 DP 题目，以后看到 Dp 题目，也应该考虑状态数的优化，只找有用的状态。

T4：好玩的 Xor-Hash，学会了一个奇数转偶数的 trick。