从 dfs 序求 lca 到虚树到树分块 学习笔记

前言

想象我在口胡三样我都不熟悉的东西并尝试称之为“学习笔记”。

其实不过是我自己对于它的一点小理解，甚至可能是错误的！

无所谓，口胡！口胡！口胡！口胡！口胡！

一些备注

\(dfn_u\) 为点 \(u\) 的 dfn 序，\(nfd_i\) 表示第 \(i\) 个 dfs 到的点是啥（前者的反数组）

dfs 序求 lca

这个很简单，想象把点按照 dfs 序重排后求 lca，设两点为 \(u≠v\)，则 lca 为：

它们 dfs 序区间内深度最小的点的父亲。

这个 ST 表搞一下即可 \(O(1)\) 查询 lca！

证明：由于 \(u,v\) 必然分别在 lca 的两个子树中间，想象过程中必然存在一个跳越子树的过程，跳到新的子树的根，其父亲就是 lca。

（想象这里有图片）

相应的也有这样的结论：

取 \(u,v\) 间（dfs 序上）所有的相邻点对的 lca，深度或者 dfs 序最小的就是了。

证明同理，想象中间跳子树的过程。

后面这个没啥直接用处但是等会要用。

假的，它告诉我们：dfn 序上 lca 和 min 的性质较相似。

虚树

想象一类树形问题，每次只取出树上一小部分点进行询问，询问次数和点总和皆是 \(O(n)\)。

此时不能对整棵树处理，只能取出他们中的一部分点建树，这就是虚树了。

但是只用给出的 \(k\) 点建树是不够的，下图这样的信息就保存不下来了：

（想象这里有图片）

那么我们还应该保证它们的所有 lca 都在虚树上。

然后根据前面结论 2，你只需要取出 dfn 上所有相邻点对的 lca（共 \(k-1\) 个），加上一个根节点，共 \(2k\) 个点就行了。

然后具体建边方法很多，我比较喜欢按欧拉序排序的方式。

这个后面再来补充一下！

树分块

虽然说，树分块的建树过程模板是 P2325 [SCOI2005] 王室联邦，但是我从这个角度切入树分块就糊涂了，可能是我太菜！

其实树分块的理解方式是：

选出一些点 \(a\)，建一棵虚树，并把虚树上所有点视为 关键点，此时我们发现，任意一条关键点上的边，对应着原来树上这两个点之间的路径和一些小枝枝（伸不出去的）。

这棵树被叫做原树的伸缩树。

那么此时就发现一条原树上的路径变成了现在三个部分：

\(u\) 到某个关键点 + 伸缩树上两个关键点之间的路径 + 关键点二 到 v 的路径

那么这看起来很像分块“大段维护，局部朴素”的思想，所以我们只需要让伸缩树上每条边对应的原树边集尽量平衡就行了。

一般来说平衡应该是 \(B=\sqrt{n}\)，如何达到这个平衡呢？

讲两个方法！

随机撒点

是的！随机撒 \(O(B)\) 个点建出虚树（当然他们的 lca 也是要包含的），对于大多数问题来说，只包含对于链的询问，不需要特别的性质（比如板子题就不需要了），这个够用了。

Top Cluster

想象回到 P2325 [SCOI2005] 王室联邦，现在来讲一下这道题目的做法：

dfs 保证每个子树只剩下残余的 \(<B\) 个点，那么简单合并，每当超过了 \(B\) 个就把他们视作一个新的块，最后必然剩下 \(<B\) 个点视作新的残余子树，递归上去解决问题。

就搞定了。

但是直接这样发现每个块有不止两个向外连的节点，并不符合树分块的伸缩树性质。

有两个解决方案：第一个，把这个块建出虚树，虚树上每一条边都改成一个新块，就行了，现在每个块只有 \(2\) 个关键点了。

第二个，直接分的时候，如果加入之后产生了第三个关键点，就不加了，直接把当前的点成一块。

这两个做法其实差不多的，而且可以证明这样分是平衡的，但是我不会证明。

后记

图还没搞，先发布吧。