1710 生日蛋糕（1999 noi）
1710 生日蛋糕（1999 noi）
1999年NOI全国竞赛
题目描述 Description
7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i<M时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q= Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）
输入描述 Input Description
有两行，第一行为N（N<=10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M<=20)，表示蛋糕的层数为M。
输出描述 Output Description
仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。
样例输入 Sample Input
100 2
样例输出 Sample Output
68
数据范围及提示 Data Size & Hint
体积V=πR2H
侧面积A’=2πRH
底面积A=πR2
题目分析：搜索题，其实不减枝的代码还是很好写的。
参考程序：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 22
#define INF 100000000
int N,M,ans,maxh;
//m为蛋糕的层数, v为当前的体积, s为当前得到的面积,r和h为当前层的半径和高
void dfs(int m,int v,int s,int r,int h){
//退出条件
if(m == 0){
if(ans > s && v == N) ans = s;
return;
}
//枚举可能的解
for(int i = r-1; i >= m; i--){
for(int j = maxh; j >= m; j--){
if(m == M) s = i * i;
dfs(m-1,v+i*i*j,s+2*i*j,i,j);
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&N,&M);
ans = INF;
maxh=N/M/M;//唯一的剪枝，底层蛋糕的最大高度N/(M*M)
dfs(M,0,0,N+1,N+1);
if(ans == INF) printf("0\n");
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}
然后就是剪枝呢，四个减枝的条件：
先打表，算出每层蛋糕的最小体积和表面积(minv[i]和mins[i])，然后在来减枝
1、v+minv[m] > V
v为已经涂的体积，那么如果v加上下一层最小的体积比总体积V还大，这显然是不可能的，减去。
2、s+min[m] > ans
s为已经涂的面积，那么s加上下一次最小的面积比当前求得的ans还大，显然不需要dfs了，减去。
3、2*(V-v)/r + s >= ans
已经涂了s，那么还剩下rest_s = sum{2*Ri*Hi} >= sum{2*Ri*Ri*Hi/Rk} = 2*(V-v)/r （设k为当前层的半径）。如果rest_s加上s大于等于ans，那么也不用在dfs了。
4、maxh = Min((N-v-minv[m-1])/(i*i),h-1)
当枚举半径为i时，当前最低的可能高为maxh = Min((N-v-minv[m-1])/(i*i),h-1)。
剪枝后的代码：
//注意：本程序蛋糕自顶向下编号（与题目相反），dfs由下向上运行.
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int INF=1000000;
const int Size=22;
int N,M;
int ans;
int mins[Size],minv[Size];
int maxh;
void init(){
mins[0]=minv[0]=0;
for(int i=1;i<=M;i++){
mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
}
}
void dfs(int m,int v,int s,int lastr,int lasth){
//cout<<m<<' ';
if(m==0){
if(v==N)ans=min(ans,s);
return;
}
if(v+minv[m]>N)return;
if(s+mins[m]>=ans)return;
if(2*(N-v)/lastr+s>=ans)return;
for(int r=lastr-1;r>=m;r--){
int maxh=min((N-v-minv[m-1])/(r*r),lasth-1);//注意这里是minv[m-1]，因为 总体积N – 已经有的v – 将要有的最小体积minv[m+1] 才是 m这一层的最大体积，进而计算最大高度
//cout<<maxh<<endl;
for(int h=maxh;h>=m;h--){
if(m==M)s=r*r;//整个蛋糕与桌面向平的那些环面的面积之和==底层蛋糕的圆面的面积，在此加上
dfs(m-1,v+r*r*h,s+2*r*h,r,h);
}
}
}
int main(){
freopen("1.in","r",stdin);
cin>>N>>M;
ans=INF;
maxh=N/M/M;
init();
int maxr=sqrt(N);
dfs(M,0,0,maxr+1,N+1);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
