【牛客挑战赛61F】抽奖

【牛客挑战赛61F】抽奖

by AmanoKumiko

Description

已知中奖一次的概率是\(\frac{a}{b}\)

设中奖\(m\)次的抽奖次数为\(x\)

求\(E(x^k)\mod 998244353\)

Input

一行四个整数\(m,k,a,b\)

Output

一行一个数表示答案

Sample Input

2 2 1 3

Sample Output

48

Data Constraint

\(1\le m\le 9*10^8,1\le k\le 10^7,1\le a\le b\le 10^8\)

Solution

首先用多元二项式定理展开

设

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum_{i=1}^{+\infty}(1-\frac{a}{b})^{i-1}\frac{a}{b}e^{ix}\\ &=\frac{a}{b}e^x\sum_{i=0}^{+\infty}(1-\frac{a}{b})^{i}e^{ix}\\ &=\frac{a}{b}e^x\frac{1}{1-(1-\frac{a}{b})e^x}\\ \end{aligned} \]

所求即

\[[x^k]\frac{a^m}{b^m}\frac{e^{mx}}{(1-(1-\frac{a}{b})e^x)^m} \]

难点在于处理右侧的分式

可以Binomial Sum，然后做完了。。。

Code

先咕了