学习NOTE 1——扫描线

刚学了扫描线，来写个笔记。

是什么？

扫描线，顾名思义，就是用线去扫描图形。

那扫描线是干什么的呢？
一般扫描线都用于计算 很多重合在一起的矩形 的总占地面积/外围的周长。

那它是怎么扫的呢？
给个图：

就是用一根线从左往右（或从下往上）扫过整个图形，与图形接触的部分为当前这一块的长（或宽），而扫过这一部分的时间就可以视作另一条边，然后长 \(\times\) 宽，求出面积，也是非常好用啊（？）。

感觉有点像数学上的割补法。

怎么实现？

好问题，怎么实现？ 。。。沉默（挠头）

我们可以画一下：

土黄色那一块图象的左下角坐标为\((x1,y1)\),右上角坐标为\((x2,y2)\),那么左上角就为\((x1,y2)\),右上角即为\((x2,y1)\)。这一块图象的面积就是\((y2−y1)\times (x2−x1)\)。

但是一般的数据都奇大无比 （\(10^{18}\)），所以要 离散化。

我们还要记录每一根“重点线段”的 \(x\) 和 \(y\) 坐标，方便求长与宽，以求面积。

但是这就又出现了一个问题，怎么计算边的长度呢？

就像这样：

这个红色的边怎么算呢？
把蓝色和黑色的加起来，再减去重叠部分？

换个角度，可以这样算：

把很多短小的加起来就OK了。
否则就太麻烦了（可以自己模拟一下）。

那么我们可以用线段树！
不过，为什么呢？

因为我们可以把黑色、灰色、蓝色、紫色框起来的线段加起来，得出这条红色线段的长度。而这些框起来的地方就是一条线段。

---

那么，我们可以建立线段树，管理图中所有矩形的y坐标之间的线段。
节点的特征值就是当前扫描到的线段 在管理范围内 的总长度。

这样，求线段长度只需要区间求和就彳亍啦。

那怎么判断哪些区间包含当前扫到的线段呢？

我们只需要计算区间和就可以了。但是怎么算什么时候要加入哪条边呢？

这时候我们就可以打标记，记录在这个区间里第一条被扫到的边和最后一条被扫到的边，即“入边”和“出边”。当我们扫到入边时，就进入了这个矩形，扫到出边后，就离开了这个矩形。

然后——打标记！

是的，打标记。在进入矩形的时候，给标记\(“+1”\)，出矩形的时候，给标记再\(“-1”\)。

这样一来，遇到一条出边时，就可以与之前一条入边加上的抵消掉。再根据标记的定义，判断这个节点所管理的范围是否包含被扫到的线段，有的话就加上。

TIP 1：

根据上面的一些例子可以发现，在这里线段树维护的是线段，而不是一个个点。每一个节点记录的是一整条线段，而不应该记录节点。
再举个例子：

这里有五个\(y\)坐标，区间是\([1,5]\)，在扫到第一条线时，需要更改的区间就变成了\([2,4]\)，如果按着线段树的板子就是要遍历\([2,3]\)与\([4,4]\)。\([4,4]\)？不对，这是一个点！！这不就漏掉\([3,4]\)了吗？！

在区间中，有\(n\)个点就会有\(n-1\)条边。是的 \(n-1\) 条边！！

所以我们可以把\([l,r]\)的区间——诶，变为\([l,r+1]\)，这样就有\(n\)条边了！

回看到例子，当我们把\([2,3]\)变为\([2,4]\)就OK啦！！（[2,3]不就是[2,4]吗） 而我们修改到了\([2,2]\)和\([3,3]\)时，实际上也正是在修改\([2,3]\)和\([3,4]\)，这样就满足了我们的目的。

这样子的话，虽然还会出现修改查询区间\([i,i]\)的情况，但是这实际是区间\([i,i+1]\)。这样子就不再会出现记录节点的情况了。

所以，我们采用这种方法，在修改和查询区间\([l,r]\)的时候，实际上修改和查询的是\([l,r−1]\)，这样就可以解决这个问题了。

TIP 2：

要修改区间，那我们要不要打懒标记呢？
其实不用。

我们要的只是\(tr_1.c\)，也就是整个图象包含的被扫到的线段的长度。所以，我们根本没必要下放到各个节点。
相反，我们应该上放到根节点，不断维护根节点。

例子：洛谷P5490
板子题

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,ans,x_1,x_2,y_1,y_2,k[N],len;
struct scan_line{int y_1,y_2,x,mk;}li[N];
//y1,y2表示该线段上面的那个点和下面的那个点的y坐标
//x用来排序而已，mk表示该边是入边还是出边
struct segment_tree{int l,r,lc,rc,c,tag;}tr[N<<1];
//lc,rc为左/右儿子的编号
//tag用来判断扫到下一条线段时是否包括括这个矩形 
bool cmp(scan_line a,scan_line b){return a.x<b.x;}
void build(int l,int r){//建树 
	len++;
	int p=len;
	tr[p]={l,r,-1,-1,0,0};
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	tr[p].lc=len+1;build(l,mid);
	tr[p].rc=len+1;build(mid+1,r);
}
void uplz(int p,int l,int r){
	if(!tr[p].tag){//若tag为0 
		if(l==r) tr[p].c=0;//如果l==r+1，则为树最底下的叶子节点，没有被线段覆盖，故c为0  
		else tr[p].c=tr[tr[p].lc].c+tr[tr[p].rc].c;
		//虽然该节点没有覆盖，但其子节点可能被覆盖，所以加上自己的儿子节点
	}
}
void modify(int p,int l,int r,int t){
//p为节点编号，l、r为修改范围，k用于修改
	if(tr[p].l>r||tr[p].r<l) return ;
	if(tr[p].l>=l&&tr[p].r<=r){
		tr[p].tag+=t;
		if(tr[p].tag) tr[p].c=k[tr[p].r+1]-k[tr[p].l];//若tag>0要加上。因为这里的r实为r-1的，但y数组没有该操作，故要加1 
		else tr[p].c=0;
		uplz(p,tr[p].l,tr[p].r);//维护
		return ;
	}
	int lc=tr[p].lc,rc=tr[p].rc;
	int mid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
	if(r<=mid) modify(lc,l,r,t);
	else if(mid+1<=l) modify(rc,l,r,t);
	else modify(lc,l,mid,t),modify(rc,mid+1,r,t);
	uplz(p,tr[p].l,tr[p].r);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x_1>>y_1>>x_2>>y_2;
		k[(i<<1)-1]=y_1,k[i<<1]=y_2;//离散化
		li[(i<<1)-1]={y_1,y_2,x_1,1};
		li[i<<1]={y_1,y_2,x_2,-1};//记录线段 
	}
	n<<=1;//一个矩形就有两条线段 
	sort(k+1,k+n+1);//离散化 
	sort(li+1,li+n+1,cmp);//按照x坐标的大小来排序 
	int c=unique(k+1,k+n+1)-k-1;//去重计算有多少个不同的y，也就是这个图像有几个y。因为区间[l,r]表示的是[l,r+1]，区间[l,r-1]实际上是[l,r]，故总区间长度cnt要多减一个1
	build(1,c);
	for(int i=1;i<=n;i++){//扫描，面积并中扫到n-1条线段即可
		y_1=lower_bound(k+1,k+c+1,li[i].y_1)-k;//当前这条线段的y_1坐标的离散值，表示线段的y1是在线段树的第(离散值)个节点
		y_2=lower_bound(k+1,k+c+1,li[i].y_2)-k-1;//同上，因为[l,r]实为[l,r-1]，故-1
		modify(1,y_1,y_2,li[i].mk);//修改
		ans+=tr[1].c*(li[i+1].x-li[i].x);//ans记录当前扫到的面积
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

（图片取自https://www.luogu.com.cn/article/28yc6g1d，感谢dalao）