CF1149E

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问题看上去完全想不到直接的做法，考虑弱化问题。

现在来分析 \(n\) 个点的链的情况。

如果 \(n=2\)，先手必胜；

如果 \(n=3\)，考虑手玩一些简单的情况，不难观察到 \(\text{x0x}\) 类型的状态先手必败，其余先手必胜，严格证明可以考虑归纳；

如果 \(n=4\)，发现已经很复杂了，什么都手玩不出来，考虑写暴力打表猜测充要条件。

我们能想象到这样一个暴力：

对于每个状态，枚举操作哪个位置，然后设定一个阈值，枚举把这个位置变成多少，并在阈值范围内枚举链上下一个数是多少。

但这个暴力不一定是对的，原因在于：一个状态可能转移到数值很大的状态，这时可能要求阈值更大才能得到正确结果。

事实上，我们在解决这道题之后可以证明，阈值范围取 \([0,2^k-1]\) 并且初始输入的值不超过阈值时这个暴力时对的。

所以目前这个暴力跑出的结果不能全信。

不过把阈值范围设到 \([0,1]\) 还是能看出一点点规律的：

1001 先手必胜，1010 先手必败，1011 先手必胜，1100 先手必胜，1101 先手必胜，1110 先手必胜，1111 先手必败。

虽然没有理由相信上面的表是对的，但结合 \(n=3\) 的结论，又由于本题如果全部点是孤立的就是经典的 \(\text{nim}\) 博弈，所以可以做出猜测：

奇数位置的 \(\text{xorsum}\) 和偶数位置的 \(\text{xorsum}\) 都是 \(0\) 是链先手必败的充要条件。

可以证明这点：

先考虑必败态一定只能走到必胜态：操作一个位置一定会改变其所在组的 \(\text{xorsum}\)，会变为非 \(0\)，故不能走到必败态，所以只能走到必胜态；

再考虑必胜态可以走到必败态：假设当前操作位置所在组 \(\text{xorsum}\) 非 \(0\)，那么根据 \(\text{nim}\) 博弈的证明，一定能找到一个数，可以把它变小并使整组的 \(\text{xorsum}=0\)，接着可以任意改变另一组的 \(\text{xorsum}\)，就能达到必败态。如果操作的数在链的边界上可能还要做一些讨论，比较平凡，在此略过。

下面来尝试把这个分组计算 \(\text{xorsum}\) 的结论放到 \(\text{DAG}\) 上。

如果用类似黑白染色的办法分组，只能解决二分图，所以可以考虑分更多的组。

整合一下我们的要求：

• 为满足必败态一定只能走到必胜态，同组能的点不能有连边。
• 为满足必胜态能走到必败态，一个充分条件，每个点要向其它组各至少一个点连边。

似乎要求太难达到了，尝试给第二个条件放宽：

• 每个点要向编号大于其所在组的组中至少一个点连边。

可以发现，按照逆拓扑序增量构造，一个点的组号取其出边对面点组号的 \(\text{mex}\) 即可。

这个构造满足了我们的所有要求，这道题被解决了。