P7962 NOIP2021 方差

首先观察什么样的序列是能操作得到的。

考虑差分数组（由于算的是方差，所以不含第一项）可以发现，这个操作相当于交换差分数组相邻两项。也就是说，要让差分数组重排之后方差最小。

考虑推方差的式子，写成 \(n\sum a_i^2-(\sum a_i)^2\) 的形式。

发现最小化这个东西不太可做，于是去找结论。

打表发现，最优的差分数组是单谷的。

事实上这个结论很符合感性理解：我们希望更多地数接近中间。

这样就可以 DP 了。对差分数组从小到大做，枚举当前数插到前面还是后面，由贡献的式子发现只需要记录当前原数组的和即可转移。

时间复杂度 \(O(n^2a)\)，还过不去最后一档。

又发现最后一档值域很小，这时候差分数组只有 \(O(a)\) 个非 0 项，而 0 的贡献是好处理的，所以可以得到 \(O(na\min(n,a))\) 的做法，可以通过。

对于这道题，一个很重要的事情是算贡献尽可能对简洁的式子算。我最初尝试时把贡献拆到差分数组，导致转移巨大复杂，写了很久才调出来一部分。后来改成直接对原数组算贡献，转移就非常简洁了。