块状数据结构选做
收集了最近做的一些块状数据结构题，涉及分块，莫队，块状链表等，难度大多不是很高，老少皆宜。 QAQ
P4168 [Violet]蒲公英
大意：静态在线区间众数
先离散化，预处理出 \(cnt_{i,j}\) 和 \(mode_{i,j}\)，分别表示前 \(i\) 块中数值 \(j\) 出现的次数和第 \(i\) 到第 \(j\) 块的众数。可以 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\) 实现（\(mode_{i,j+1}\) 可由 \(mode_{i,j}\) 在 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的时间内推出）。
对于每次查询，答案要么在散块，要么在整块。只需扫描散块的所有数，判断其是否可以更新答案即可。
时间复杂度 \(\mathcal{O}((n+m)\sqrt{n})\)。
P4135 作诗
大意：静态在线区间出现正偶数次的数值的个数
先分享一个我的奇怪做法，
显然，\(出现正偶数次的数值的个数 = 区间数值个数 - 出现奇数次数值的个数\)，
区间数值个数主席树很好做，我们考虑如何处理出现奇数次数值的个数，
用 \(cnt_i\) 表示 \(i\) 出现的次数，如果暴力计算，每逢一个数 \(v\)，就让 \(cnt_v\) 加一，那么只要统计 \(cnt\) 中的奇数的值的数量即可，
我们让 \(cnt_i\) 的值模 2，可以发现，加一就相当于 \(cnt_v=cnt_v ~\texttt{xor}~1\)。
于是思路就很明显了，对序列分块，设块长为 \(T\)，预处理 \(\mathcal{O}(\dfrac{n}{T})\) 个 \(\texttt{bitset}\) 对于第 \(i\) 个 \(\texttt{bitset}~cnt_i\)，存储第 1 到第 \(i\) 块末尾这些数按上面的方式做出的结果 （即 \(cnt_{i,j}\) 表示前 \(i\) 块中数值 \(j\) 出现次数的奇偶性），这个东西是前缀可减的（\(cnt_{p,j}~\texttt{xor}~cnt_{q,j}\) 表示第 \(p\) 到 第 \(q\) 块数值 \(j\) 出现次数的奇偶性），加上散块暴力，单次询问复杂度为 \(\mathcal{O}(\dfrac{n}{w}+T+\log n)\) (假设 \(n\) 与值域同阶, \(\log\) 为主席树复杂度)。
对于预处理，每个块分别预处理，然后做一个前缀 \(\texttt{bitset}\) 异或即可，预处理时间复杂度 \(\mathcal{O}(\dfrac{n^2}{Tw})\)。
总的时间复杂度就是 \(\mathcal{O}(\dfrac{n^2}{Tw}+m(\dfrac{n}{w}+T+\log n))\)，由均值不等式，取 \(T=\dfrac{n}{\sqrt{mw}}\) 即可取到理论最优复杂度。（实际调块长很玄学QAQ）
可通过本题，但是我的写法跑的不快awa
下面分享一下正宗 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\) 做法
预处理出数组 \(s_{i,j}\)，表示第 \(i\) 到第 \(j\) 块这些整块的答案，可以 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\) 实现。
对于每组询问，扫描散块的数，计算对答案的影响即可，实现的时候有些细节要注意。
P4396 [AHOI2013]作业
题目大意：静态询问区间值在 [a,b] 内的数的个数和数值的个数
考虑莫队，指针总共移动 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m})\) 次，查询答案 \(\mathcal{O}(m)\) 次，因此我们需要一个 \(\mathcal{O}(1)\) 修改，\(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 查询的数据结构。我们只需要对值域分块即可，维护每个块内数值的个数和数的个数，查询的时候散块暴力查询，整块直接加上标记就可以了。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m\sqrt{n})\)。调一下块长跑得飞快。
P9410 『STA - R2』机场修建
大意：要求数据结构支持联通块合并、编号在区间 [a,b] 内的点点权加、查询联通块点权和
维护数组 \(cnt_{i,j}\) 记录并查集代表元为 \(i\) 的联通块在第 \(j\) 块的个数。每个并查集再维护一个 \(sum\)，表示散块暴力加上的点权。
对于区间加，整块打上 tag，散块暴力加到对应并查集的 \(sum\) 上。
合并直接做即可。
对于查询代表元为 \(t\) 的并查集，第 \(i\) 个整块的贡献就是 \(tag_i \times cnt_{t,i}\)，\(\mathcal{O}(\sqrt{n})\)计算即可，最后加上 \(sum_t\)。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)，空间复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)。
这道题空间限制比较紧，但是卡一卡就能过去（也可以把 \(cnt\) 搞成 \(\texttt{vector}\),进而空间复杂度线性，但是我的写法时间复杂度要带个二分的 \(\log\)）
update 2024/8/25 :
莫队二次离线 P4887
大意：区间异或后二进制下有 \(k\) 个 \(\text{1}\) 的数对个数。值域 1.6e4
称两数能匹配当且仅当它们的异或和二进制下有 \(k\) 个 \(\text{1}\)。
直接莫队可以 \(O(\dbinom{14}{k})\) 转移，但不能接受。
考虑拆转移的贡献，以 \(L\) 端点左移到 \(L-1\) 为例：
\(a_{L-1}\) 的贡献为 \([L,R]\) 内和 \(a_{L-1}\) 匹配的数的个数。
可以拆成 \([1,L-1]\) 和 \([1,R]\) 两个区间。
于是可以发现，定义位置 \(x\) 的权值为 \(a_x\) 在 \([1,x-1]\) 内能匹配的数的个数，就可以实现 \(O(1)\) 第一部分转移。
还可以发现，对于一个询问，第二部分贡献的形式是 \([QL,L-1]\) 中的数在 \([1,R]\) 内能匹配的数的个数。（其中 \(QL\) 是本次询问的左端点，\(L\) 是当前莫队指针的左端点）
按照 \(R\) 离线，由于 \(\sum O(L-QL)=O(n\sqrt{n})\)，可以暴力统计贡献。（此处认为询问和序列长度同级）
按排序后的询问顺序把第二部分贡献前缀和回去就好了。
可以发现，这个套路实质上就是对于高复杂度但具有可减性的转移拆成 \(O(1)\) 的转移和离线后总长度为 \(n\sqrt{n}\) 的区间询问。
代码见洛谷记录。
浙公网安备 33010602011771号