RMQ学习笔记
RMQ学习笔记
前言:这个算法无论是从适配性还是长度来说都很有实力...💦
关于 RMQ
RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。
详细信息
求 \(l-r\) 区间内的最大/最小数.
区间构造
- 本质是DP.设 \(f[i][j]\) 为 \(i\sim i+2^{j-1}\) 的区间最大值.特别地,\(f[i][0]=a[i]\).(一个数的最大值是它本身).
- 状态转移方程: \(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\).
区间查询
- 设要查询的区间为 \([L,R]\) (包括LR)
-
\[k = log2(R-L+1) \]
-
\[res[L][R] = max(f[L][K],f[R-2^k+1][k]) \]
- 注意:为保证精度,请自己推导 \(2^k\) ,而不是直接使用 \(log\) 函数.
时间复杂度: \(O(nlog_2n)\)
A. 超级记忆力
题目描述
小A同学拥有无与伦比的超级记忆力，他可以一次性记住很多数字。
为了考验一下小A同学的记忆力，王老师一次性给小A展示了 \(N\) 个整数。然后问了他 \(M\) 个问题，每个问题给定一个区间，要求小A同学说出这个区间中的最大数是多少？
为方便老师检验小A同学的答案是否正确，请你先编程求出正确的答案。
输入
第一行两个整数 \(N,M\) 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为 \(N\) 个数；
接下来 \(M\) 行，每行都有两个整数 \(X,Y\) 表示询问的区间。
数据范围：
\(1≤N≤10^5,1≤M≤10^6,1≤X≤Y≤N\)。数字不超过 C/C++ 的 int 范围。
解法:
- 板子,没什么可说的.注意:要开scanf!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, L = 20;
int a[N], f[N][L];
int lg[N];
int n, m, x, y, k;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;
for (int j = 0; j < L; j++) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
if (j == 0)
f[i][j] = a[i];
else
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
}
while (m--) {
scanf("%d%d", &x, &y);
k = lg[y - x + 1];
printf("%d\n", max(f[x][k], f[y - (1 << k) + 1][k]));
}
}
B. 荣耀之战
题目描述
小 \(A\) 是一名游戏玩家，他正在玩一款叫做“荣耀之战”的游戏。在这个游戏中，他需要通过完成任务来提升自己的等级。
游戏地图上有 \(N\) 个排成一排的装备，每个装备都标注好了经验值和危险值，第 \(i\) 个装备的经验值为 \(V_i\) 危险值为 \(D_i\)。
小 \(A\) 接到了一个任务，他需要在这 \(N\) 个装备中，选取连续的若干个装备，并使得这些装备的经验值总和不小于 \(K\)（\(\ge K\)）。同时要使得这些装备的最大的危险值尽可能的小。
请编程计算出，满足题意的方案中，最大的危险值最小是多少？
输入
第 \(1\) 行读入 \(2\) 个整数 \(N,K\)。
接下来 \(N\) 行，每行读入 \(2\) 个整数 \(V_i,D_i\) ，分别表示每个装备的经验值和危险值。
数据范围
对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le N \le 10^5\)，\(1 \le V_i,D_i \le 10^9\)，\(1 \le K \le 10^{18}\)。
- 要选出一个区间,使得他们在 \(V_i\ge K\) 的情况下 \(D_i\) 的总和最小.能够转化为: 选择 \(V_l+V_{i+1}+...+V_r \ge K\) 且 $D_l+D_{i+1}+...+D_r $ 最小.很容易想到用双指针来解决.注意:一定要让已经过去的数出队!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int L = 20;
long long a[N];
long long lg[N], f[N][L];
long long n, m, v[N], w[N];
#define value long long
value max(value a, value b) {
return a > b ? a : b;
}
value min(value a, value b) {
return a < b ? a : b;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lld%lld", &v[i], &w[i]);
}
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
lg[i] = lg[i / 2] + 1;
}
for (int i = 0; i < L; i++) {
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0)
f[j][i] = w[j];
else
f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
long long r = 0, sum = 0;
long long ans = INT_MAX;
for (int l = 1; l <= n; l++) {
while (r + 1 <= n and sum < m) {
sum += v[++r];
}
if (sum >= m) {
long long
len = lg[r - l + 1];
ans = min(ans, max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]));
}
sum -= v[l]; // 一定要注意让已经过去的数出队!!!!
}
printf("%lld\n", ans);
}
C.异或
题目内容
有一个长度为 \(N\) 的数列 \(A_1,A_2,\dots,A_n\)。
请问该数列中任意取一个区间 \([L,R]\) 中，是否存在 \(2\) 个数，使得这两个数异或的结果为 \(T\)。
请注意，本题会发起 \(M\) 次询问，对于每次询问的区间，如果能找到符合题意的数对，请输出 yes，否则请输出 no。
输入
第一行包含三个整数 \(n, m, T\) 。
第二行包含 \(n\) 个整数，数字之间用空格隔开。
接下来的 \(M\) 行，每行有一个询问区间，每个询问区间包含 \(2\) 个整数 \(L,R\)。
数据规模
对于 \(20 \%\) 数据, \(1 \leq n, m \leq 100\);
对于另外 \(40 \%\) 数据, \(1 \leq n, m \leq 1000\);
对于 \(100 %\) 的数据, \(1 \leq n, m \leq 10^5,0 \leq T < 2^{20},1\le L \le R \le n,0 \le a_i \le 2^{20}\)
思路
- 首先,我们暴力肯定过不了.
- 题目要求给定区间内是否有一对数.\(a,b\) 满足 \(a^b=T\)
- 简单推到可得: \(a^T=b\) 是由上面式子转化而来的.
- 我们随便列一组数据,并存储到 \(a\) 数组里面: \(a[]=\{2,1,3,4,2,3,2,3\}\)
- 然后没个数异或 \(T\) 得: \(a_2[]=\{3,0,2,5,3,2,3,2\}\)
- 然后在每个数的前面查找异或 \(T\) 后的数,如果找不到标记为 \(0\) :\(a_3[]=\{0,0,1,0,3,5,6,7\}\)
- 如果要找的区间内对应的所有 \(a_3[i]\) 中有大于 \(L\) 而且小于 \(R\) 的数,那就成功了.输出 \(yes.\) 否则就是 \(no\) .
- 这个找符合规定的数的过程可以使用RMQ.记录每个区间内的最小数然后方便之后查找,并且具有最优性.(不信可以试试不同的数据)
2856-异或
1.如果 \(x⊕y=T\)，那么一定满足 \(x⊕T=y\)；
2.对于每个数 \(a_i\)，如果能够存储在 \(a_i\) 的左侧，最后一个 \(x⊕T\) 的位置 \(p\) ，那么 \([L，R]\) 中是否存在数对异或后为 \(T\) 的条件为：如果 \([L，R]\) 中存在的一个 \(p\) ，满足 \(p\ge L\) 。
3.因此我们只要求出 \([L，R]\) 中最大的 \(p\) ，如果 \(p\ge L\)，即可满足条件，因此用RMQ，维护 \([L，R]\) 区间 \(p\) 的最大值。
举例：
\(last_i\) ：记录任何一个数的位置
- 如何求 \(p_i\) ?
1.用 \(t\) 数组来存储每个数的位置，每遇到一个数 \(a_i\)，其位置 \(last_{a_i}=i\) ，显然如果有相同的 \(a_i\)，\(last_{a_i}\) 将会记录最后一个 \(a_i\) 的位置；
2.因此查 \(a_i⊕T\) 的最后一个位置，直接取 \(last_{a_{i⊕T}}\)，如果该位置不存在，则输出 \(no\)。注意：由于 \(a_i⊕T\) 的最大值可能是 \(2^{20}-1\)，因此要注意 \(last\) 数组要开大一些。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 20, L = 20;
int f[N][L], p[N], ls[(1 << 20) + 10], lg[N];
int n, m, l, r, t;
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x;
scanf("%d", &x);
p[i] = ls[x ^ t];
ls[x] = i;
}
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
for (int i = 0; i < L; i++) {
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0) // 一定要记得i初始值为0啊啊啊啊啊啊忘了好多遍啦
f[j][i] = p[j];
else
f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << i - 1)][i - 1]);
}
}
while (m--) {
scanf("%d%d", &l, &r);
int len = lg[r - l + 1];
int maxx = max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]);
if (maxx >= l)
puts("yes");
else
puts("no");
}
}
D.连续k个数的最值
题目描述
给定 \(n\) 个整数，求从第 \(1\) 个数到第 \(n-k+1\) 个数为起点的每个数开始，连续 \(k\) 个数的最大数和最小数。
\(0\le k \le n \le 10^5\)
输入
5 3
1 2 3 4 5
输出
3 1
4 2
5 3
解法
很好的板子题.跑两遍RMQ,分别记录最大最小值即可.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, L = 20;
int f[N][L], a[N], lg[N]; // lg数组的本质就是求出两个下标之间的差值然后log2一下,所以直接开N就行
int fmi[N][L];
int n, q;
int main() {
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
// 初始化lg数组
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
lg[i] = lg[i / 2] + 1;
}
// 初始化最大值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) { // i从0开始!!!!2^0也是正整数!!!!
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0) // 同上个注释
f[j][i] = a[j];
else
f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 初始化最小值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) {
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0)
fmi[j][i] = a[j];
else
fmi[j][i] = min(fmi[j][i - 1], fmi[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 构造完毕.
for (int i = 1; i + q - 1 <= n; i++) {
int len = lg[q];
int minn = min(fmi[i][len], fmi[i + q - 1 - (1 << len) + 1][len]);
int maxx = max(f[i][len], f[i + q - 1 - (1 << len) + 1][len]);
cout << maxx << " " << minn << "\n";
}
return 0;
}
E. 体育课
题目描述
体育课上，\(N\) 名同学排成了一排，他们的编号为 \(1 \sim N\)。
体育老师安排大家玩 \(M\) 轮游戏，每轮游戏会从邀请编号在 \([L,R]\) 之间的的同学参加。
这个游戏主要考验同学们的团队协作能力，不过，如果被邀请的同学身高差距太大，会很难完成游戏。
为了让每次邀请的同学都能顺利完成游戏，体育老师要求每次选取出编号在 \([L,R]\) 之间的同学之后，请该组的同学告诉老师，这组同学最高身高和最低身高的差值是多少。老师将根据这个身高的差值，来设置游戏的难度。
输入
第 \(1\) 行读入 \(2\) 个整数 \(N,M\)。
接下来 \(N\) 行每行读入一个整数，第 \(i\) 个整数 \(A_i\) 代表编号为 \(i\) 同学的身高。
接下来读入 \(M\) 行，每行读入 \(2\) 个整数 \(L,R\)，表示被邀请参加游戏同学的编号范围。
输入
6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2
输出
6
3
0
数据范围
\(1 \le N \le 5\times10^4\)，\(1 \le M \le 2 \times 10^5\)，\(1 \le A_i \le 10^6\)，\(1 \le L \le R \le N\)。
解法
跟Extra T1 一摸一样.数据范围反倒小啦
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 * 5 + 10, L = 20;
int f[N][L], a[N], lg[N]; // lg数组的本质就是求出两个下标之间的差值然后log2一下,所以直接开N就行
int fmi[N][L];
int n, q, l, r;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &q);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
// 初始化lg数组
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
lg[i] = lg[i / 2] + 1;
}
// 初始化最大值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) { // i从0开始!!!!2^0也是正整数!!!!
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0) // 同上个注释
f[j][i] = a[j];
else
f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 初始化最小值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) {
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0)
fmi[j][i] = a[j];
else
fmi[j][i] = min(fmi[j][i - 1], fmi[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 构造完毕.
while (q--) {
scanf("%d%d", &l, &r);
int len = lg[r - l + 1];
int maxx = max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]);
int minn = min(fmi[l][len], fmi[r - (1 << len) + 1][len]);
printf("%d\n", maxx - minn);
}
return 0;
}
Extra T1 P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G
没什么可说的,两次RMQ板子分别最大最小,还需要多打打板子题啊...好多小细节需要注意,但是大体上没什么难度.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 * 5 + 10, L = 20;
int f[N][L], a[N], lg[N]; // lg数组的本质就是求出两个下标之间的差值然后log2一下,所以直接开N就行
int fmi[N][L];
int n, q, l, r;
int main() {
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
// 初始化lg数组
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
lg[i] = lg[i / 2] + 1;
}
// 初始化最大值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) { // i从0开始!!!!2^0也是正整数!!!!
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0) // 同上个注释
f[j][i] = a[j];
else
f[j][i] = max(f[j][i - 1], f[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 初始化最小值ST表
for (int i = 0; i < L; i++) {
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; j++) {
if (i == 0)
fmi[j][i] = a[j];
else
fmi[j][i] = min(fmi[j][i - 1], fmi[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
// 构造完毕.
while (q--) {
cin >> l >> r;
int len = lg[r - l + 1];
int maxx = max(f[l][len], f[r - (1 << len) + 1][len]);
int minn = min(fmi[l][len], fmi[r - (1 << len) + 1][len]);
cout << maxx - minn << "\n";
}
return 0;
}
ExtraT2 P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题
解法
就是模版好吧,不会的请看A题,注意:时间限制0.8s
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, L = 20;
int a[N], f[N][L];
int lg[N];
int n, m, x, y, k;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
lg[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;
for (int j = 0; j < L; j++) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
if (j == 0)
f[i][j] = a[i];
else
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
}
while (m--) {
scanf("%d%d", &x, &y);
k = lg[y - x + 1];
printf("%d\n", max(f[x][k], f[y - (1 << k) + 1][k]));
}
}
浙公网安备 33010602011771号