关于坐标旋转公式的探究

数学作业，被迫加班。

\(I.\) 坐标旋转公式

我们先来回顾一下坐标旋转公式，给定一个点 \(P(x,y)\)，我们想要求出其绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 后的坐标。

我们不妨假设 \(P(x,y)\) 与原点的连线与 \(x\) 轴正半轴的夹角为 \(\alpha\)。那么我们很容易知道 \(x=r\cos\alpha,y=r\sin\alpha\)。而旋转后的点 \(P'(x',y')\) 有 \(x'=r\cos(\alpha+\theta),y'=r\sin(\alpha+\theta)\)。

由三角函数和角公式，我们将 \(x'\) 和 \(y'\) 的表达式展开。有 \(x'= r\cos\alpha\cos\theta-r\sin\alpha\sin\theta\)，\(y'=r\sin\alpha\cos\theta+r\cos\alpha\sin\theta\)。而这时我们发现，由于 \(x=r\cos\alpha,y=r\sin\alpha\)，则我们可以把 \(x'\) 和 \(y'\) 的表达式继续进行简化。

那么最终经过简单替换，我们可以得到 \(P'(x',y')=P'(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\)。

我们可以发现：最终得到的坐标表达式与 \(\alpha\) 无关，于是我们就可以在只知道旋转角度 \(\theta\) 与原坐标 \(P(x,y)\) 的情况下非常简便的算出旋转后的坐标，非常方便。

\(II.\) 常见函数的旋转

\(Important:\) 为了简化问题，我们在此处研究的旋转全部指的是以原点为中心进行旋转。以任意点进行旋转的情况下，我们只需要把这个任意点作为原点，对原函数的表达式进行相应的平移即可。

0. 函数旋转方程组

一般来说，题目会给出原函数的表达式，而在坐标旋转公式中，原函数前面都带有 \(\cos\theta\) 或 \(\sin\theta\) 的系数，让我们不好下手。这时，我们一般选择将已知关系的两个变量 \(x,y\) 反解 出来放在左边，而复杂的待求出的 \(x',y'\) 关系则放在右边等待解出。

于是我们把：

\[\begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases}\]

变为：

\[\begin{cases} x=y'\sin\theta+x'\cos\theta\\ y=y'\cos\theta-x'\sin\theta \end{cases}\]

1. 一次函数的旋转

一次函数的表达式一般可以写作 \(y=kx+b(k\neq 0)\) 的形式，而当 \(k=0\) 时，一次函数退化为常函数。但是在坐标旋转意义下，这两种函数实质上是没有什么区别的，因为其可以通过简单的旋转互相转化。

我们将 \(y=kx+b\) 带入函数旋转方程组，得到：

\[\begin{cases} x=y'\sin\theta+x'\cos\theta\space(1)\\ kx+b=y'\cos\theta-x'\sin\theta\space(2) \end{cases}\]

将 \((1)\) 式 \(k\) 倍加上 \(b\)，我们可以得到 \(ky'\sin\theta+kx'\cos\theta+b=y'\cos\theta-x'\sin\theta\)。我们知道，一条直线旋转后依然是一条直线，于是我们也写成一条直线的形式。

即：$$y'(\cos\theta-k\sin\theta)=x'(k\cos\theta+\sin\theta)+b$$

此时，若 \(k\cos\theta+\sin\theta=0\)，则函数退化为一个常函数。若 \(\cos\theta-k\sin\theta=0\)，则斜率为正无穷，图像为一条竖直的直线。

2. 反比例函数的旋转

反比例函数的解析式是：\(y=\frac{b}{x}(b\neq 0)\)，与一次函数大多相同，但是反比例函数旋转后大多数情况下并不是标准意义下的函数，而是双曲线。

我们有：

\[\begin{cases} x=y'\sin\theta+x'\cos\theta\space(1)\\ \frac{b}{x}=y'\cos\theta-x'\sin\theta\space(2) \end{cases}\]

将 \((1)\) 式取倒数并乘上 \(b\)，我们有 \(\frac{b}{y'\sin\theta+x'\cos\theta}=y'\cos\theta-x'\sin\theta\)

于是我们有 \((y'^2-x'^2)\sin\theta\cos\theta+x'y'(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-b=0\)

利用二倍角公式，我们可以将其等价变形为：

\[(y'^2-x'^2)\sin2\theta+2x'y'\cos2\theta-2b=0 \]

接下来我们验证其为双曲线：写出二次曲线的一般形式为 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\)。

此时有：

\[\begin{cases} a=-\sin2\theta\\ b=2\cos2\theta\\ c=\sin2\theta\\ d=0\\ e=0\\ f=-2b \end{cases}\]

考虑判别式 \(\delta=b^2-4ac=4(\cos^22\theta+\sin^22\theta)=4>0\)

所以其为双曲线。

特别的，当 \(\theta=\frac{\pi}{4}\)，其变为标准双曲线 \(y'^2-x'^2=2b\)。

分式线性函数的旋转与其大同小异，但由于计算过于复杂，此处不做展开。

3. 二次函数的旋转

与反比例函数的旋转非常相似，旋转后依然属于二次曲线。二次函数的解析式为 \(y=ax^2+bx+c\)。同样使用函数旋转方程组。

\[\begin{cases} x=y'\sin\theta+x'\cos\theta\space(1)\\ ax^2+bx+c=y'\cos\theta-x'\sin\theta\space(2) \end{cases}\]

只留下 \(x'\) 和 \(y'\)，式子变为

\[a\cos^2\theta x'^2+a\sin^2\theta y'^2+2a\sin\theta\cos\theta x'y'+(b\cos\theta+\sin\theta)x'+(b\sin\theta-\cos\theta)y'+c=0 \]

这就是二次函数旋转后的标准方程。

比如令 \(a=1,b=0,c=0,\theta=\frac{\pi}{2}\)，就可以得到 \(y=x^2\) 旋转后的方程就是 \(y^2=-x\)。

而令 \(a=1,b=0,c=0,\theta=-\frac{\pi}{2}\)，就可以得到 \(y=x^2\) 旋转后的方程就是 \(y^2=x\)。

一般的，只要是二次曲线，都可以较为快速的算出其旋转公式。

上述过程就是多项式函数旋转的一般过程，其余函数的旋转并无区别，只是计算量稍大罢了，故在此不继续列举

\(III.\) 非多项式函数的旋转

这一类函数无法进行快速计算，如 \(y=e^x,y=\sin x\) 等等。这些函数最好看的形式一般就是隐式方程的形式。

如 \(y=\sin x\)，根据坐标旋转方程组：

\[\begin{cases} x=y'\sin\theta+x'\cos\theta\space(1)\\ \sin x=y'\cos\theta-x'\sin\theta\space(2) \end{cases}\]

最多也只能得到 \(\sin (y'\sin\theta+x'\cos\theta)=y'\cos\theta-x'\sin\theta\)，而无法继续展开。一般只有在 \(\theta\) 为特殊角时可以计算。

如 \(\theta=\frac{\pi}{2}\)，则有 \(\sin y'= -x'\)，颇像一种反函数。

\(IV.\) 结语

以上展示了一类坐标旋转和函数旋转问题的解决方法，即利用坐标旋转和反解坐标旋转公式，求出旋转后点坐标或 函数/方程 解析式。

旋转在数学问题乃至各工程领域用途广泛，对其的深入研究令我收获颇丰。