「Bombs」Solution

题意简述

给定两个长度为 $n$ 的排列 $a,b$，对于一个初始为空的集合进行以下操作：对于每个 $i$，将 $a_i$ 加入集合，若 $vi{s}_i=1$，将此时集合中的最大值删除。
现对于每一个 $i$，求出 $\forall j\in [1,i-1]，vi{s}_j=1$ 的情况下，进行一次操作后集合中的最大值。

• $1\le n\le 3\times 10^5$

思路

不妨令 $an{s}_i$ 为 $i$ 的答案，由于只有删除操作，显然有 $an{s}_{i+1}\le an{s}_i$。
可以很自然的想到，我们可以 $O(n)$ 从 $n$ 往 $1$ 扫一遍，对于每一个 $i$ 判断当前枚举到的 $x$ 合不合法，如果不合法就 $x\leftarrow x-1$，继续判断即可。

所以现在的瓶颈便在于：该如何快速判断当前枚举到的 $x$ 合不合法呢？

• Hint1：$x$ 合法意味着什么？
• Hint2：一个数 $y$ 已被删除的条件是什么？
• Hint3：需要删除的数和标记点有什么联系？

不妨从以上 $\text{tips}$ 入手。如果 $x$ 合法，那么 $x$ 一定未被删除，且 $\forall y\in [x+1,n]$ 都已被删除。$y$ 被删除的充要条件是 $y$ 所处的位置后面有一个标记点可以用来删除 $y$。想到这，便不难发现其实判断的本质就是在寻找标记点与待删除点的 配对关系，类似于一个 括号序列。

不妨将一个待删除点 $y\in [x+1,n]$ 视作左括号，将一个标记点视作右括号，那么原问题便转化为括号序列中，每一个 左括号是否都有与之对应的右括号 的匹配问题。

注意在此题中，一个位置上既可以有左括号，也可以有右括号（一个点既可以待删除，也可以被标记。）且此题中括号匹配存在优先级的概念，即 $y\in [x+1,n]$ 会比 $x$ 优先匹配右括号。通俗地讲，如果想给当前 $x$ 分配右括号，那么必须先匹配完比他大的数才可以。

想想普通的括号匹配问题，如果对于任意位置 $i$，$[1,i]$ 中左括号的数量大于等于 $[1,i]$ 中右括号的数量，且 $[1,n]$ 中左括号与右括号序列数量相等才能匹配。对于这道题，我们不要求匹配，只需要左括号配对完即可，右括号过剩也是被允许的。因此，如果对于任意 $i$，$[i,n]$ 中左括号的数量都小于等于 $[i,n]$ 中右括号的数量，那么便说明 $[i,n]$ 中的右括号不仅可以把 $[i+1,n]$ 中的左括号匹配完，且可以匹配到当前 $i$ 位置上的左括号。

所以，$x$ 不合法（即被删除） 的充要条件为：对于任意 $i$，$[i,n]$ 中左括号的数量小于 $[i,n]$ 中右括号的数量。也就等价于 $[i,n]$ 中左括号的数量减去 $[i,n]$ 中右括号的数量小于等于 $0$。所以，我们将左括号视为 $1$，右括号视为 $-1$，用线段树维护这个差值即可，添加括号就修改后缀，最后判断全局最大值 $Max$ 是否 $\le 0$ 即可。

代码

代码也很简洁易懂。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MAXN = 3e5 + 5;
using namespace std;
int n , a[MAXN] , b[MAXN] , id[MAXN];
namespace Segment{
    struct tree{
        int l , r , Max , val , add;
    }tree[MAXN << 3];
    void pushup(int p) {tree[p].Max = max(tree[p << 1].Max , tree[p << 1 | 1].Max);}
    void pushdown(int p) {
        if (tree[p].add) {
            tree[p << 1].Max += tree[p].add , tree[p << 1 | 1].Max += tree[p].add;
            tree[p << 1].add += tree[p].add , tree[p << 1 | 1].add += tree[p].add;
            tree[p].add = 0;
        }
    }
    void build(int p , int l , int r) {
        tree[p].l = l , tree[p].r = r;
        if (l == r) return;
        int mid = l + r >> 1;
        build(p << 1 , l , mid) , build(p << 1 | 1 , mid + 1 , r);
    }
    void update(int p , int l , int r , int v) {
        if (tree[p].l >= l && tree[p].r <= r) {
            tree[p].Max += v , tree[p].add += v;
            return;
        }
        pushdown(p);
        int mid = tree[p].l + tree[p].r >> 1;
        if (l <= mid) update(p << 1 , l , r , v);
        if (r > mid) update(p << 1 | 1 , l , r , v);
        pushup(p);
    }
}
using namespace Segment;
bool check(int x) {return (tree[1].Max <= 0);}
void remove(int x) {update(1 , 1 , id[x] , 1);}
void add(int x) {update(1 , 1 , x , -1);}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr) , cout.tie(nullptr);
    cin >> n;
    build(1 , 1 , n);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i] , id[a[i]] = i;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> b[i];
    remove(n);
    for (int i = 1 , now = n ; i <= n ; i ++) {
        while(now >= 1) {
            if (check(now)) remove(-- now);
            else break;
        }
        cout << now << ' ';
        add(b[i]);
    }
	return 0;
}