「High Cry」Solution

简述题意

给定长度为 $n$ 的数组 $n$，求出有多少个区间满足区间或大于区间最大值。

• $n\le 2\times 10^5$

思路

从区间入手肯定不好做，考虑从最大值入手。

注意到一个区间，其肯定有一个最大值 $a_i$，因此统计区间个数就等价于统计对于 $i\in [1,n]$，有多少个区间 $[l,r]$ 满足 $l\le i\le r$ 且最大值等于 $a_i$ 且区间或大于 $a_i$。注意到一个区间有多个最大值，因此钦定一个区间的最大值为最靠左的那一个。

区间最大值显然满足单调性，所以可以通过 $\text{ST}$ 表加二分对每一个 $i$ 预处理出 $q{l}_i,q{r}_i$，其含义为对于 $\forall l\in [q{l}_i,i],r\in [i,q{r}_i]$，$[l,r]$ 的最大值为 $a_i$。

接下来考虑区间或的限制。我们知道对于一个区间的或，很容易通过前缀数组 $log(n)$ 求得，且在某个端点固定的情况下，随着另一个端点的延伸一定单调不降，因此也可以二分解决。对于每一个 $i$，不妨求出 $l_i,r_i(l_i\le i,r_i\ge i)$ ，其中 $l_i$ 表示离 $i$ 最近且满足 $[l_i,i]$ 的区间或大于最大值的点，同理 $r_i$ 表示离 $i$ 最近且满足 $[i,r_i]$ 的区间或大于最大值的点。那么对于一个区间 $[x,y]$，如果其满足 $x\in [q{l}_i,l_i]，y\in [i,q{r}_i]$ 或者 $x\in [q{l}_i,i],y\in [r_i,q{r}_i]$，那么 $[x,y]$ 就为题目所求的区间。

假设我们已求得 $q{l}_i,q{r}_i,l_i,r_i$，那么某个 $i\in [1,n]$ 对答案的贡献即为：
满足 $x\in [q{l}_i,l_i]，y\in [i,q{r}_i]$ 的区间个数 $+$ 满足 $x\in [q{l}_i,i],y\in [r_i,q{r}_i]$ 的区间个数 - 满足 $x\in [q{l}_i,l_i]，y\in [r_i,q{r}_i]$ 的区间个数。推导基于容斥原理，且近乎显然。

代码

一道没太多细节的题，但是记得特殊处理 $q{l}_i$ 或 $q{r}_i$ 或 $l_i$ 或 $r_i$ 不存在的情况，且注意二分边界。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
int n , pre[MAXN][31] , Max[MAXN][21] , a[MAXN] , ql[MAXN] , qr[MAXN] , ans;
vector<int> idx[MAXN];
int GetMax(int l , int r) {
	int s = log2(r - l + 1);
	return max(Max[l][s] , Max[r - (1 << s) + 1][s]);
}
bool check(int l , int r , int pos) {
	for (int v : idx[pos]) {
		if (pre[r][v] - pre[l - 1][v] > 0) return 1;
	}
	return 0;
}
int Findl(int pos) {
	int l = ql[pos] , r = pos;
	while(l < r) {
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid , pos , pos)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	if (!check(l , pos , pos)) return -1;
	return l;
}
int Findr(int pos) {
	int l = pos , r = qr[pos];
	while(l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(pos , mid , pos)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	if (!check(pos , l , pos)) return -1;
	return l;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr) , cout.tie(nullptr);
	cin >> n;
	for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i] , Max[i][0] = a[i];
	for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		for (int j = 0 ; j <= 30 ; j ++) {
			if ((1 << j) & a[i]) pre[i][j] = pre[i - 1][j] + 1;
			else pre[i][j] = pre[i - 1][j] , idx[i].push_back(j);
		}
	}
	for (int j = 1 ; j <= 20 ; j ++) {
		for (int i = 1 ; i + (1 << j) - 1 <= n ; i ++) {
			Max[i][j] = max(Max[i][j - 1] , Max[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
		}
	}
	a[0] = a[n + 1] = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		if (a[i - 1] >= a[i] && a[i + 1] > a[i]) continue;
		int l = 1 , r = i - 1;
		while(l < r) {
			int mid = l + r >> 1;
			if (GetMax(mid , i - 1) < a[i]) r = mid;
			else l = mid + 1;
		}
		if (GetMax(l , i - 1) < a[i]) ql[i] = l;
		else ql[i] = i;
		l = i , r = n;
		while(l < r) {
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (GetMax(i , mid) <= a[i]) l = mid;
			else r = mid - 1;
		}
		qr[i] = l;
	}
	for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		if (a[i - 1] >= a[i] && a[i + 1] > a[i]) continue;
		int l = Findl(i) , r = Findr(i);
		if (l == -1 && r == -1) continue;
		if (l == -1) ans += (i - ql[i] + 1) * (qr[i] - r + 1);
		else if (r == -1) ans += (l - ql[i] + 1) * (qr[i] - i + 1);
		else ans += (l - ql[i] + 1) * (qr[i] - i + 1) + (i - ql[i] + 1) * (qr[i] - r + 1) - (l - ql[i] + 1) * (qr[i] - r + 1);
	}
	cout << ans;
	return 0;
}