loj6277~6285.分块入门九讲
loj6277.数列分块入门 1
维护序列，支持区间修改，单点查询。
直接分块，修改整块打标记，散块暴力修改。查询直接点值加上所在块的标记即可。
时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,block,a[50001],b[50001],tag[50001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
int main()
{
n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read();
if(opt==0)
{
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(bl==br)
{
for(register int j=l;j<=r;++j)
a[j]+=x;
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
tag[j]+=x;
for(register int j=l;j<=bl*block;++j)
a[j]+=x;
for(register int j=(br-1)*block+1;j<=r;++j)
a[j]+=x;
}
if(opt==1)
printf("%d\n",a[r]+tag[(r-1)/block+1]);
}
return 0;
}
loj6278.数列分块入门 2
维护序列，支持区间加，区间查询小于一个数的个数。
先思考怎样维护答案。可以分块后对每个块维护一个 \(vector\)，里面是块内排序后的结果。
修改的时候整块直接打标记，散块暴力重构一遍。
查询整块用 lower_bound，散块暴力查询。
块大小 \(\sqrt n\) 时，复杂度 \(O(n\sqrt n\log n)\)，还不够优秀。
考虑调整块大小。设块大小为 \(B\) 发现每次操作的运算次数是 \(B\log n+\frac n B\geq 2\sqrt{n\log n}\)，取等条件是 \(B\log n=\frac n B\)，解得 \(B=\sqrt{\frac n{\log n}}\)，此时复杂度优化为 \(O(n\sqrt{n\log n})\)，实测结果比前一种快了一半以上。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int n,block,a[500001],b[500001],tag[500001];
vector<int> v[500001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void rebuild(int k,int l,int r,int x)
{
v[k].clear();
for(register int i=block*(k-1)+1;i<=min(block*k,n);++i)
a[i]+=tag[k];
for(register int i=l;i<=r;++i)
a[i]+=x;
for(register int i=block*(k-1)+1;i<=min(block*k,n);++i)
v[k].push_back(a[i]);
sort(v[k].begin(),v[k].end());
tag[k]=0;
}
inline int query(int k,int l,int r,int x)
{
int res=0;
for(register int i=l;i<=r;++i)
res+=(a[i]+tag[k])<x;
return res;
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n/log2(n));
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
v[b[i]].push_back(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=b[n];++i)
sort(v[i].begin(),v[i].end());
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read();
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(opt==0)
{
if(bl==br)
{
rebuild(bl,l,r,x);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
tag[j]+=x;
rebuild(bl,l,block*bl,x);
rebuild(br,block*(br-1)+1,r,x);
}
if(opt==1)
{
x*=x;
if(bl==br)
{
printf("%lld\n",query(bl,l,r,x));
continue;
}
int ans=0;
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
ans+=lower_bound(v[j].begin(),v[j].end(),x-tag[j])-v[j].begin();
printf("%lld\n",ans+query(bl,l,block*bl,x)+query(br,block*(br-1)+1,r,x));
}
}
return 0;
}
loj6279.数列分块入门 3
维护序列，支持区间加，区间查询前驱。
和上一题完全没区别，只是改一下查询的东西即可。
但是这一题为啥块长 \(\sqrt n\) 更快了啊感觉好神秘。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int n,a[100001],b[100001],block,tag[100001];
vector<int> v[100001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void rebuild(int k,int l,int r,int x)
{
v[k].clear();
for(register int i=block*(k-1)+1;i<=min(block*k,n);++i)
a[i]+=tag[k];
for(register int i=l;i<=r;++i)
a[i]+=x;
for(register int i=block*(k-1)+1;i<=min(block*k,n);++i)
v[k].push_back(a[i]);
tag[k]=0;
sort(v[k].begin(),v[k].end());
}
inline int query(int k,int l,int r,int x)
{
int res=-1ll<<60;
for(register int i=l;i<=r;++i)
if(a[i]+tag[k]<x&&a[i]+tag[k]>res)
res=a[i]+tag[k];
return res;
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
v[b[i]].push_back(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=b[n];++i)
sort(v[i].begin(),v[i].end());
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read();
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(opt==0)
{
if(bl==br)
{
rebuild(bl,l,r,x);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
tag[j]+=x;
rebuild(bl,l,bl*block,x);
rebuild(br,(br-1)*block+1,r,x);
}
if(opt==1)
{
int ans=-1ll<<60;
if(bl==br)
{
ans=query(bl,l,r,x);
printf("%lld\n",ans==-1ll<<60? -1:ans);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
{
int pos=lower_bound(v[j].begin(),v[j].end(),x-tag[j])-v[j].begin()-1;
if(pos==-1)
continue;
if(v[j][pos]+tag[j]>ans)
ans=v[j][pos]+tag[j];
}
ans=max(ans,max(query(bl,l,bl*block,x),query(br,(br-1)*block+1,r,x)));
printf("%lld\n",ans==-1ll<<60? -1:ans);
}
}
return 0;
}
loj6280.数列分块入门 4
维护序列，支持区间加，区间求和。
在第一题的基础上多维护一个整块的和就好了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
int n,block,a[50001],b[50001],tag[50001],sum[50001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
sum[b[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read();
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(opt==0)
{
if(bl==br)
{
for(register int j=l;j<=r;++j)
a[j]+=x;
sum[bl]+=x*(r-l+1);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
{
tag[j]+=x;
sum[j]+=x*block;
}
for(register int j=l;j<=bl*block;++j)
{
a[j]+=x;
sum[bl]+=x;
}
for(register int j=(br-1)*block+1;j<=r;++j)
{
a[j]+=x;
sum[br]+=x;
}
}
if(opt==1)
{
int ans=0;
++x;
if(bl==br)
{
for(register int j=l;j<=r;++j)
ans=(ans+(a[j]+tag[bl])%x)%x;
printf("%lld\n",ans);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
ans=(ans+sum[j]%x)%x;
for(register int j=l;j<=bl*block;++j)
ans=(ans+(a[j]+tag[bl])%x)%x;
for(register int j=(br-1)*block+1;j<=r;++j)
ans=(ans+(a[j]+tag[br])%x)%x;
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
loj6281.数列分块入门 5
维护数列，支持区间开方，区间求和。
经典套路就是开方开不了几次就到 1 了，然后就不用处理了，直接维护整块最大值和整块和即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
int n,block,a[50001],b[50001],maxn[50001],sum[50001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void rebuild(int k,int l,int r)
{
for(register int i=l;i<=r;++i)
a[i]=sqrt(a[i]);
sum[k]=maxn[k]=0;
for(register int i=(k-1)*block+1;i<=min(k*block,n);++i)
{
sum[k]+=a[i];
maxn[k]=max(maxn[k],a[i]);
}
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
maxn[b[i]]=max(maxn[b[i]],a[i]);
sum[b[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read();
read();
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(opt==0)
{
if(bl==br)
{
rebuild(bl,l,r);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
if(maxn[j]>1)
rebuild(j,(j-1)*block+1,j*block);
rebuild(bl,l,bl*block);
rebuild(br,(br-1)*block+1,r);
}
if(opt==1)
{
int ans=0;
if(bl==br)
{
for(register int j=l;j<=r;++j)
ans+=a[j];
printf("%lld\n",ans);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
ans+=sum[j];
for(register int j=l;j<=bl*block;++j)
ans+=a[j];
for(register int j=(br-1)*block+1;j<=r;++j)
ans+=a[j];
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
loj6282.数列分块入门 6
维护序列，支持插入值，查询某个位置的值。
进行分块，每个块用 vector 存块内序列，插入暴力跳找到所在的块然后直接插入，查询同理。
如果插入之后发现这个块大小太大就暴力重构整个序列。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,block,b[200001],maxn;
vector<int> v[200001],tmp;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void rebuild()
{
for(register int i=1;i<=maxn;++i)
{
tmp.insert(tmp.end(),v[i].begin(),v[i].end());
v[i].clear();
}
block=sqrt(m);
maxn=(m-1)/block+1;
for(register int i=1;i<=m;++i)
v[(i-1)/block+1].push_back(tmp[i-1]);
}
inline pair<int,int> getblock(int x)
{
for(register int i=1;i<=maxn;++i)
{
if(x<=v[i].size())
return make_pair(i,x-1);
x-=v[i].size();
}
}
int main()
{
m=n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
b[i]=(i-1)/block+1;
v[b[i]].push_back(read());
}
maxn=b[n];
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read();
read();
if(opt==0)
{
pair<int,int> k=getblock(l);
v[k.first].insert(v[k.first].begin()+k.second,r);
++m;
if(v[k.first].size()>block*20)
rebuild();
}
if(opt==1)
{
pair<int,int> k=getblock(r);
printf("%d\n",v[k.first][k.second]);
}
}
return 0;
}
loj6283.数列分块入门 7
维护数列，支持区间加、区间乘、单点查询。
没啥好说的，在第一题的基础上多维护一个乘法标记，然后每次散块直接暴力重构下放标记即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=10007;
int n,block,a[100001],b[100001],tag[100001][2];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void rebuild(int k,int l,int r,int x,bool flag)
{
for(register int i=(k-1)*block+1;i<=min(k*block,n);++i)
a[i]=(a[i]*tag[k][1]%mod+tag[k][0])%mod;
tag[k][0]=0;
tag[k][1]=1;
for(register int i=l;i<=r;++i)
a[i]=(flag? a[i]*x%mod:(a[i]+x)%mod);
}
int main()
{
n=read();
block=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read()%mod;
b[i]=(i-1)/block+1;
}
for(register int i=1;i<=b[n];++i)
tag[i][1]=1;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read()%mod;
int bl=(l-1)/block+1,br=(r-1)/block+1;
if(opt==0)
{
if(bl==br)
{
rebuild(bl,l,r,x,0);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
tag[j][0]=(tag[j][0]+x)%mod;
rebuild(bl,l,bl*block,x,0);
rebuild(br,(br-1)*block+1,r,x,0);
}
if(opt==1)
{
if(bl==br)
{
rebuild(bl,l,r,x,1);
continue;
}
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
{
tag[j][1]=tag[j][1]*x%mod;
tag[j][0]=tag[j][0]*x%mod;
}
rebuild(bl,l,bl*block,x,1);
rebuild(br,(br-1)*block+1,r,x,1);
}
if(opt==2)
printf("%d\n",(a[r]*tag[br][1]%mod+tag[br][0])%mod);
}
return 0;
}
loj6284.数列分块入门 8
维护序列，支持区间查询一个数的数量，区间推平。
还是维护 vector，整块打标记，散块暴力重构。
查询的时候有标记看标记，没有标记 upper_bound 减掉 lower_bound 就是贡献。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int n,block,a[100001],b[100001],tag[100001];
vector<int> v[100001];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline int rebuild(int k,int l,int r,int x)
{
int res=0;
v[k].clear();
if(tag[k]!=1ll<<60)
for(register int i=(k-1)*block+1;i<=min(k*block,n);++i)
a[i]=tag[k];
tag[k]=1ll<<60;
for(register int i=l;i<=r;++i)
{
res+=a[i]==x;
a[i]=x;
}
for(register int i=(k-1)*block+1;i<=min(k*block,n);++i)
v[k].push_back(a[i]);
sort(v[k].begin(),v[k].end());
return res;
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n/log2(n));
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
v[b[i]].push_back(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=b[n];++i)
{
sort(v[i].begin(),v[i].end());
tag[i]=1ll<<60;
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int l=read(),r=read(),x=read();
int bl=b[l],br=b[r];
if(bl==br)
{
printf("%lld\n",rebuild(bl,l,r,x));
continue;
}
int ans=0;
for(register int j=bl+1;j<br;++j)
{
if(tag[j]!=1ll<<60)
ans+=tag[j]==x? block:0;
else
ans+=upper_bound(v[j].begin(),v[j].end(),x)-lower_bound(v[j].begin(),v[j].end(),x);
tag[j]=x;
}
ans+=rebuild(bl,l,bl*block,x)+rebuild(br,(br-1)*block+1,r,x);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
loj6285.数列分块入门 9
维护序列，支持区间最小众数。
直接分块，预处理 \(f_{l,r}\) 表示块 \(l\) 到块 \(r\) 的最小众数。查询的时候直接拿出整块的众数，连同散块一共 \(O(\sqrt n)\) 个数一一判断即可。
复杂度 \(O(n\sqrt{n\log n})\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int n,block,a[100001],b[100001],f[2001][2001],node[100001],cnt,sum[100001];
vector<int> v[100001],tmp;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-')
f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline int solve(int n,int l,int r)
{
int num=cnt+1,maxn=-1<<30;
for(auto i:tmp)
{
int val=upper_bound(v[i].begin(),v[i].end(),r)-lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),l);
if(val==maxn)
num=min(num,i);
if(val>maxn)
{
maxn=val;
num=i;
}
}
return node[num];
}
signed main()
{
n=read();
block=sqrt(n/log2(n));
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
node[i]=a[i]=read();
b[i]=(i-1)/block+1;
}
sort(node+1,node+n+1);
cnt=unique(node+1,node+n+1)-node-1;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=lower_bound(node+1,node+cnt+1,a[i])-node;
v[a[i]].push_back(i);
}
for(register int i=1;i<=b[n];++i)
{
for(register int j=1;j<=cnt;++j)
sum[j]=0;
int num=cnt+1,maxn=-1<<30;
for(register int j=i;j<=b[n];++j)
{
for(register int k=(j-1)*block+1;k<=min(j*block,n);++k)
{
++sum[a[k]];
if(sum[a[k]]==maxn)
num=min(num,a[k]);
if(sum[a[k]]>maxn)
{
maxn=sum[a[k]];
num=a[k];
}
}
f[i][j]=num;
}
}
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int l=read(),r=read();
int bl=b[l],br=b[r];
tmp.clear();
if(bl==br)
{
for(register int j=l;j<=r;++j)
{
tmp.push_back(a[j]);
sort(tmp.begin(),tmp.end());
}
printf("%lld\n",solve(i,l,r));
continue;
}
if(bl+1<=br-1)
tmp.push_back(f[bl+1][br-1]);
for(register int j=l;j<=bl*block;++j)
tmp.push_back(a[j]);
for(register int j=(br-1)*block+1;j<=r;++j)
tmp.push_back(a[j]);
sort(tmp.begin(),tmp.end());
printf("%lld\n",solve(i,l,r));
}
return 0;
}
