一些对数位dp的理解

对数位dp的一些理解

在解决统计区间内符合某些特征的数字的个数这类问题时，容易想到的做法是枚举这段区间，查找符合条件的数字，但当区间范围巨大或面临多次查询问题时，就会超时。

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数位dp则很好的解决了遍历每一个数所造成的巨大时间开销，仅需要知道当前位的数字，以及对某位选择该数字与不选该数字两者之间的递推关系，即可在极短的时间内求出符合特征的数字数量。

• 状态转移式子如下
  \[dp(i, limit \And (x = p_{i-1}), x) = dp(i, limit \And (x = p_{i-1}), x) + dp(i - 1, limit, last) \]

• 当第 \(i\) 位之前的数不为上限时，\(dp(i, 0, last)\) 可以通过 \(dp(i - 1, 0, last)\) 进行状态转移。反之，第 \(i\) 位之前的数为上限时，\(dp(i, 1, last)\) 可以通过 \(dp(i - 1, 1, last)\) 或 \(dp(i - 1, 0, last)\) 进行状态转移。这里的 \(last\) 表示上一个数字， \(limit\) 表示当前位是否为上限， \(x\) 表示当前位的数字。 如果前面所有数字都到达上限，则当前位的最大值为给定数同位的值，反之则为9。其时间复杂度为 \(O(len \cdot 10 \cdot 10)\) len 为数字的位数，\(10\) 为数字的范围，\(10\) 为上一个数字的范围。

例题：洛谷 P2657 [SCOI2009] windy 数

例题：洛谷 P4127 [AHOI2009] 同类分布