扩展欧几里得算法、不定方程、同余方程、乘法逆元求解

不定方程理论

设 k ≥ 2，\(c,~ a_1~,...,~a_k\)是整数且\(~ a_1~,...,~a_k\)都不等于零，以及\(~ x_1~,...,~x_k\)是整数变数，则方程

\[~~~a_1x_1 + ...+a_kx_k = c ~~~~~~~~~~~(1) \]

称为 k 元一次不定方程，\(~ a_1~,...,~a_k\)称为它的系数。

【求解方法理论】

\({\color{Red}定理一}\)：不定方程有解的充分必要条件是它的系数的最大公约数\((a_1,~...~,a_k) | c\)。并且，不定方程（1）有解时，它的解和不定方程

\[\frac{a_1}{g}x_1 +~ ... ~+\frac{a_k}{g}x_k = \frac{c}{g} ~~~~~~(2) \]

的解相同，这里 \(g = (a_1,~...~, a_k)\)。

证 必要性显然。下面来证充分性，若 \(g ~| ~c\)，设 \(c= gc_1\)，又g = \((a_1,~...~,a_k)\) 必然可以表示为\(a_1,~...~,a_k\)的所有整系数线性组合中最小的正整数，则必有整数 \(y_{1,0},~...~,y_{k,0}\)，使得

\[~~a_1y_{1,0} + ~...~ + a_ky_{k,0} = g~~~~~~(3) \]

因此\(x_1 = c_1y_{1,0},~...~,x_k = c_ky_{k,0}\) 即为 (1) 的一组解，这就证明了充分性。由于 (1) 有解时必有 \(g~|~c\)，而此时不定方程 (1) 和 (2) 是同一个方程，这就证明了后一结论。

\({\color{Red}定理二}\)：设二元一次不定方程

\[~~~~~~~a_1x_1 + a_2x_2 = c~~~~~~~~~~~~~~~~~(4) \]

有解，\(x_{1,0},~x_{2,0}\) 是它的一组解，那么它的所有解为

\[\begin{cases} {x_1 = x_{1,0} + \frac{a_2}{(a_1,a_2)}t}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~t = 0, ~±1~,±2,...\\ {x_2 = x_{2,0} - \frac{a_1}{(a_1,a_2)}t}\\ \end{cases} \]

证 容易直接验证由式 (5) 给出的，对所有整数 t 都满足不等式(4)。反过来，设\(x_1,~x_2\) 是 (4) 的一组解，那么我们有

\[a_1x_1+a_2x_2 = c = a_1x_{1,0} + a_2x_{2,0} \]

进而有

\[a_1(x_1 - x_{1,0}) = - a_2(x_2 - x_{2,0}) \]

\[\frac{a_1}{(a_1,a_2)}(x_1 - x_{1,0}) = -\frac{a_2}{(a_1,a_2)}(x_2 - x_{2,0}) \]

又因为 \((\frac{a_1}{(a_1,a_2))},\frac{a_2}{(a_1,a_2)}) = 1\)，则由定理知，

扩展欧几里得算法

求 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解

扩展欧几里得算法：

（1）当 b = 0时，ax + by = a，故 x = 1，b = 0

（2）当 b ≠ 0时，由欧几里得算法，gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

由裴蜀定理，得

\[gcd(a, b) = ax + by \]

\[~~~~~~~gcd(b, a \% b) = bx_1 + (a \% b)y_1 \]

\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=bx_1 + (a - {\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}×b)y_1 \]

\[~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=ay_1 + b(x_1 - \frac{a}{b}y_1) \]

所以 \(x = y_1,~y = x _1 - \frac{a}{c}y_1\)。故可以用递归算法，先求出下一层的\(x_1,~y_1\)。再回代到上一层，层层回代，即可求出特解 \((x_0,~y_0)\)。

构造通解

\[\begin{cases} {y = x_{0} + \frac{b}{gcd(a,b)}*t}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~t = 0, ~±1~,±2,...\\ {x = y_{0} - \frac{a}{gcd(a,b)}*t}\\ \end{cases} \]

模板: 时间复杂度 ：\({\color{Red}O(logn)}\)

int exgcd(int a,int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1, d;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return d;
}

求解不定方程

求 ax + by = c 的一组整数解

求解步骤：

若 gcd(a, b) | c，则有整数解，先用扩欧算法求 ax + by = gcd(a, b) 的解，再乘以 c / gcd(a, b)，即得原方程的特解\(x_0,y_0\)。

模板：时间复杂度 ：\({\color{Red}O(logn)}\)

int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);
    if(c % d == 0) printf("%d %d\n", c/d * x, c/d * y);
    else puts("No solution");
    return 0;
}

求解同余方程

给定整数a，b，m，求解同余方程 ax ≡ b （mod m）。

如果 x 存在整数解，则输出任意一个；

如果不存在，则输出 No solution。

例：8x ≡ 4 （mod 6），整数解 x = 2

求解步骤：

1. 把同余方程转化成不定方程

   由 ax ≡ b （mod m）

   得 ax = m（-y） + b

   即 ax + my = b

   又有裴蜀定理，当 gcd(a, m) | b时有解

2. 用扩欧算法，求 ax + my = gcd(a, m)的解，然后把 x 乘以 b / gcd(a, m) 即得原方程的特解。

模板：时间复杂度 ：\({\color{Red}O(logn)}\)

int main()
{
    int a, b, m;
    cin >> a >> b >> m;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, x, y);
    if(b % d == 0) printf("%d\n", 1ll*x * b / d);
    else printf("No solution\n");
    
    return 0;
}

求解乘法逆元

给定整数a，m，且 a 与 m互质时，对于同余方程 ax ≡ 1 （mod m）。求 a 的乘法逆元 x （0 < x < m)

例： 3x ≡ 1 （mod 4），整数解 x = 3

求解步骤：

1. 乘法逆元转化不定方程，等价变形 ax + my = 1。
2. 扩欧算法 求 ax + my = gcd(a, m) 的解 x（由于此时 x / gcd(a, m) = x)，之后 (x % m + m) % m即为答案。

技巧：“模加模”保证最小正整数

例：x = -7, m = 5，则(-7 % 5 + 5) % 5 = 3

例：x = 7, m = 5，则(7 % 5 + 5) % 5 = 2

模板：时间复杂度 ：\({\color{Red}O(logn)}\)

int main()
{
    int a, m;
    cin >> a >> m;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, x, y);
    if(d == 1) printf("%d\n", (x % m + m) % m); // a, m互质才有逆元
    return 0;
}