Lusca定理

Lucas定理:

• 公式：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
• 适用范围：n和m很大（1e18数量级），mod很小（1e6数量级）
• 对于上式：C(n%p,m%p)可直接用逆元求组合数方法求，C(n/p,m/p)继续用lucas定理。
• 代码：

  ll Lucas(int n,int m){
  	if(n < m)	return 0;
  	else if(m == 0)	return 1;
  	else return Comb(n%mod,m%mod) * Lucas(n/mod,m/mod) % mod;
  }

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HDU3037

题意：

• 共有m个豆放在n棵不同的树上，可以全部放、或部分放、或者不放，求有多少种方法。

题解：

• 问题转化为把≤m的数字分成n部分，每一部分可以为0；
• 转化为把m+n个数分成n部分，每一部分不能为0。
• 把x分成n部分，每一部分不能为0的分发为，C(x+n-1,n-1)
• ans = ΣC(x+n-1,n-1)(x from 0 to m) = C(n+m,n)
• 因为n和m很大，所以适合用Lusca定理。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const N = 100000 + 10;
int n,m,mod;
ll f[N];
void Init(){
	f[0] = 1;
	for(int i=1;i<=mod;i++)
		f[i] = f[i-1] * i % mod;
}
ll pow_mod(ll a,int n,int mod){
	ll ans = 1;
	while(n){
		if(n&1)	ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll Comb(int n,int m){
	if(n < m)	return 0;
	return f[n]*pow_mod((f[m]*f[n-m])%mod,mod-2,mod)%mod;
}
ll Lucas(int n,int m){
	if(n < m)	return 0;
	else if(m == 0)	return 1;
	else return Comb(n%mod,m%mod) * Lucas(n/mod,m/mod) % mod;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		cin>>n>>m>>mod;
		Init();
		printf("%lld\n",Lucas(n+m,n));
	}
	return 0;
}