HDU2104：GCD

HDU2104

题解：(s + km) % n 能够取到[0,n-1]中的所有的数 k = 0,1……

证明：当且仅当n和m互质时，才能取到[0,n-1]之间所有的数。

1. 首先要明白一个简单的结论：k在[0,n-1]可以取遍(s + km) % n 能取到的所有值。因为当k取n时，(s + 0*m) % n = (s + n * m) % n，又一个循环开始。
2. 设（s + ki * m） % n = pi，（i从0到n-1）。假设pi = pj，那么（s + ki * m） % n = （s + kj * m） % n 。移项得（ki - kj）* m % n = 0。因为m和n互质，所以ki = kj。所以当i ≠ j时，pi ≠ pj。每个k唯一对应一个p。
3. 以上证明了n和m互质，能取遍所有值。如果n和m不互质还可以吗？
4. 继续看（ki - kj）* m % n = 0这一条式子。令k = ki - kj，则k * m % n = 0。当k * m = lcm（n，m）时，k * m整除n且k最小。此时k = lcm(n,m) / m < n（因为lcm * gcd = n * m，所以lcm < n * m）。所以当k小于n时，(s + 0*m) % n = (s + k * m) % n。显然不会取到[0,n-1]之间的所有值。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int main(){	
	while(cin>>n>>m){
		if(n == -1 && m == -1)	break;
		if(__gcd(n,m) == 1)	printf("YES\n");
		else	printf("POOR Haha\n");
	}
	return 0;
}