博弈论

SG函数

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
        for(j = 0;;j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

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NIM博弈

每次选择一堆取任意多个，最后不能取的输

• 异或和为0，先手必败；否则先手必胜

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ANTI-NIM博弈

每次选择一堆取任意多个，最后不能取赢

• 石头堆全部是1，那么异或和为0，先手必胜。
• 存在一个大于1的堆，如果异或和为1，则先手必胜。

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斐波那契博弈

一堆石子有n个，两人轮流取，先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完，以后每次取的石子数不能超过上次取子数的

2倍。取完者胜

• 如果n是斐波那契数，那么先手必败。

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威佐夫博弈

取走一堆中任意个筹码，或从两堆中取走相同数目的筹码。取完所有筹码的一方获胜。

• 当满足，先手必败。

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巴什博奕

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

• 设n = (m + 1) * r + x。如果x = 0，那么先手必败；否则先手必胜。