整数划分问题

1、将n划分成若干正整数之和的划分数

• 设表示表示i划分成不大于j的划分数。

1. 若，则
2. 若，根据有无j进行划分：
   1. 如果划分中含有j，则
   2. 如果划分中不含有j，则
   3. 所以
3. 若，根据有无j进行划分：
   1. 如果划分中含有j，则
   2. 如果划分中不含有j，则
   3. 所以

int DP(int n){
    /*dp[i][j]表示i划分不超过j的方案数*/
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
            else if(j == i)  dp[i][j] = 1 + dp[i][j-1];
            else if(j < i) dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];  //根据是否包含j
        }
    }
    return dp[n][n];
}

2、将n划分成若干不同正整数之和的划分数

• 设为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

1. 若，则
2. 若，根据有无j进行划分：
   1. 如果划分中含有j，则其余划分最大只能为，则
   2. 如果划分中不含有j，则
   3. 所以
3. 若，根据有无j进行划分：
   1. 如果划分中含有j，则
   2. 如果划分中不含有j，则
   3. 所以

int DP(int n){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
            else if(j == i)  dp[i][j] = 1 + dp[i][j-1];
            else if(j < i) dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];  //根据是否包含j
        }
    }
    return dp[n][n];
}

3、将n划分成k个正整数之和的划分数

• 将n划分成k个整数之和的划分数，可转化为将n+k划分成k个正整数之和的划分数
• 设为将i划分为j个正整数之和的划分数

1. 划分中包含1，则在i中去除1，再在i-1中划分成j-1个数，
2. 划分中不包含1，则全部减去1，
3. 所以

int DP(int n,int k){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][1] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]; //时候包含1
        }
    }
    return dp[n][k];
}

4、将n划分成最大数不超过k的正整数的划分数。

• 设表示i划分成最大数不超过j的划分数

1. 如果，则。
2. 如果，则

int DP(int n,int k){
    /*将n分成若干份，每份都≤k方案数
    dp[i][j]对i划分最大为j的划分数*/
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][1] = 1;   //注意初始化
        for(int j=1;j<=k;j++){
            dp[0][j] = 1;   //注意初始化
            if(i < j)   dp[i][j] = dp[i][i];
            else    dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1]; //根据最大是否为j进行分类
        }
    }
    return dp[n][k];
}

5、将n划分成若干个奇正整数之和的划分数

1. 表示i划分成j个奇数的方案数，表示i划分成j个偶数的方案数。
2. j个偶数，每个都减去1，则。
3. 划分中不包含1，则全部减去1，则相当于中划分划分j个偶数。
4. 划分中包含1，则相当于中再划分，。
5. 最后累加

int DP(int n){
    f[0][0] = g[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            g[i][j] = f[i-j][j];
            f[i][j] = f[i-1][j-1] + g[i-j][j];    //根据是否含有1
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans += f[n][i];
    return ans;
}

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