第三章：多维随机变量及其分布

3.1.1 二维随机变量及其分布函数

二维随机变量定义

image-20220329135040197

联合分布函数

x，y的联合分布函数

image-20220329135232748

对比

一维

曲线是概率密度函数

负无穷到x 上 的面积是分布函数的函数值

image-20220329135716213

二维

定义域

image-20220329135812926

曲面是概率密度函数

x，y围成面积 上 的体积是分布函数的函数值

image-20220329135851211

性质

image-20220329140758878

image-20220329140806001

image-20220329140850879

image-20220329141009541

image-20220329141347228

image-20220329141815126

边缘分布函数

x的边缘分布

y随便取（取y的所有值）

image-20220329142734122

示例：一个垂直于x轴的平面从负无穷逐渐向外移动，移动过程中切到的体积越来越大

image-20220329143101951

y的边缘分布

x随便取（取x的所有值）

image-20220329142752944

3.1.2 二维 离散型 的联合分布和边缘分布

联合分布函数

联合分布表

image-20220329150357780

联合分布表的性质

image-20220329150525383

求联合分布函数

image-20220329154711244

image-20220329154722383

image-20220329154132439

​

image-20220329154350684

边缘分布函数

image-20220329155205250

对行求和，得到x的边缘分布

image-20220329155245636

对列求和，得到y的边缘分布

image-20220329155251061

image-20220329155936511

x，y独立时可由边缘分布确定联合分布

3.1.3 二维 连续性 的联合分布和边缘分布

联合分布函数

image-20220329160601948

联合密度（一个曲面）

image-20220329160658929

性质

image-20220329161042838

例题

1.求c

image-20220329161237025

image-20220329161316638

上面是实线，下面是虚线

image-20220329161537245

均匀分布（二维）

G是有界区域

image-20220329161915453

2.(常规题型)

image-20220329172809526

（1）

image-20220329190631634

中间步骤

image-20220329190417900

（2）

image-20220329191222461

计算过程：
img

（3）

x>0

image-20220329191422343

image-20220329191436044

image-20220329192126457

边缘分布函数

image-20220329193302522

联合密度函数

\(f(x,y)\)

边缘密度函数

image-20220329195443583

几何含义（以x的边缘密度函数\(f_x(x)\)为例）

x = x0 平面与联合密度函数\(f(x,y)\)相交所得曲线对y积分

（ 即整个体积中的一个垂直于x轴的面片，过点 (x0 , 0 , 0) ）

image-20220329201005558

补充知识点：

变上限积分

1.上限求导

2.上限带入

image-20220329194959363

例题

image-20220329201728424

image-20220329201933196

image-20220329202556685

联合密度函数图像

image-20220329205824084

image-20220329205848540

边缘密度函数图像

（以\(f_x(x)\)为例）

image-20220329210230050

image-20220329210924665

image-20220329210847625

常见二维分布

二维均匀分布

G是有界区域

image-20220329161915453

二维正太分布

image-20220329211243435

3.2.1-3.2.3 条件分布（学校不考）

3.2.4 随机变量的独立性

判断条件

image-20220330200050110

则x，y独立

（优先用第一个判断）

二维离散型的独立性

判断公式

image-20220330200341338

eg

不独立（只要有一个不等则不独立）

0.4*0.4 != 0.2

image-20220330200321877

独立（每个都要相等）

image-20220330200511059

二维连续型的独立性

判断公式

image-20220330200703751

eg

image-20220330200923874

image-20220330201119177

image-20220330201124374

image-20220330201133948

image-20220330201223866

image-20220330201314425

image-20220330201357660

变量独立，构造的函数也独立

image-20220330202327476

eg

image-20220330202745737

3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布

注意：重复的要合并

eg

image-20220401092128689

两个0-1分布相加是二项分布

image-20220401092302243

image-20220401092311670

image-20220401092637981

​ image-20220401093339119

两个泊松分布相加是泊松分布

image-20220401093959205

3.3.2二维连续型随机变量函数的分布

《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）_哔哩哔哩_bilibili

1.先求分布函数

2.对分布函数求导，得密度函数

image-20220401100751724

eg

image-20220401110949570

image-20220401111003567

image-20220401111421974 image-20220401111541435

中间步骤（二重积分：极坐标）

image-20220401111012274 image-20220401111131734 image-20220401110443612

1. Z = X + Y

image-20220401124416506 image-20220401124441280 image-20220401124746675 image-20220401124950448

（注1：二重积分的积分区域是长方形时，交换积分次序上下限不变，其他情况要变限）

（注2：Y型更方便求导）

求导得：

卷积公式

image-20220401125953551

卷积公式使用条件

  1. Z = X + Y
  2. X,Y独立

例题

X,Y是标准正太分布

image-20220401125759012 image-20220401130935360 image-20220401130913276

两个正太分布相加是正太分布（有公式）

image-20220401131031705

2. M = max{X,Y} & N = min

X,Y独立

image-20220401132850872

image-20220401132816153

eg

image-20220401132129847

image-20220401132637759 image-20220401133446514 image-20220401133420684 image-20220401133510590 image-20220401133429557
posted @ 2022-04-01 13:38  Cornfield_Chase  阅读(832)  评论(0)    收藏  举报