2015-2016 Petrozavodsk Winter Training Camp, Saratov SU Contest

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G. Maximum Product

签到题。然而贡献了 4 发罚时。

J. Sockets

考虑贪心，显然会选要求最低（深度最深）的若干个设备，同时插线板一定是越多口放越上面。

考虑二分答案，变成判定性问题。因为确定了深度最浅的设备，而插线板一定是能插就插不会更列，所以将当层设备插入之后剩下的口先贪心插接线板，如果没有了再插剩下的电器。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

H. Biathlon 2.0

简化后题意就是给一个点集，问点 \((x,y)\) 与点集内点点积最小值。

直接建下凸包然后二分即可。复杂度 \(O(n\log n)\)。

A. Three Servers

赛时乱搞过了。考虑维护集合 \(A,B\) 与 \(B,C\) 的差值，直接 dp，可以做到 \(O(n^3t^2)\)，过不去。

考虑其实权值大于 \(t^2\) 没有存的必要了。只取绝对值 \(\leq t^2\) 的部分，复杂度 \(O(nt^4)\)。稍微卡卡常能过？

赛时直接取 \(V=200\)，然后 random_shuffle 过了。。。

I. Archaeological Research

如果 \(i\) 存在一个后继是 \(j\)，事实上的限制只有 \(a[i+1,j-1]\) 区间所有数与 \(a_j\) 不同。

换句话说对于每个 \(j\) 找到最小限制的 \(l\)，那么 \(a_j=\operatorname{mex}_{k\in(l,j)}\{a_k\}\)。

直接值域线段树。复杂度 \(O(n\log n)\)。

K. Toll Roads

先枚举免费的路径的一个端点，考虑 dfs 过程中枚举另一个端点 \(u\) 统计答案。可以发现直径只有：

• \(u\) 子树内的最长链。
• \(u\) 子树外且一端为 \(u\) 到根路径上的最长链加上 \(u\) 子树内，一端为 \(u\) 的最长链。
• \(u\) 子树外选两条外挂的链。

首先 dfs 一遍求出 \(u\) 为根子树内最长链与一端为 \(u\) 的最长链。

然后再 dfs 一遍，过程中传入一个点到根路径上的最长链与次长链。处理过程中可能会需要记录前三大值。最后分讨一下可以得到以 \(u\) 为免费路径端点时的直径。

复杂度 \(O(n^2)\)。

F. Empty Vessels

考虑用最大的水杯当桶，其他被子往里面灌水。等价于 \(\sum a_ix_i\equiv A\pmod M\)。可以证明这和原问题可行的最终值是等价的。

直接最短路即可，最后操作次数不超过值域的三倍。

复杂度 \(O(nV)\)。

B. Game on Bipartite Graph

假设右边第 \(i\) 个点权值为 \(2^i\)，左边每个点权值 \(v_i\) 为所有连出的边对应点权值异或和。

结论：以 \(s\) 为当前点的游戏是先手必胜的当且仅当 \(v_s\) 不能被 \(\{v_i\},i\neq s\) 异或表示。

证明

构造 01 矩阵 \(A\)，\(A_{i,j}=1\) 当且仅当左边的 \(i\) 与右边的 \(j\) 有边。

容易发现，结论转化为以 \(s\) 为起点是先手必胜当且仅当 \(A\) 的秩不等于 \(A\) 删去第 \(s\) 行的秩。

由于是平等博弈，所以先手移动到 \(t\) 后是后手必败当且仅当 \(A^T\) 删去第 \(t\) 行后秩不发生变化。

由于 \(A^T\) 的秩等于 \(A\) 的秩，所以命题等价于：对于任意列 \(s\)，如果删去 \(s\) 后秩变化，那么一定存在一个位置 \(A_{s,i}=1\)，满足将 \(A_{s,i}\) 置 \(0\) 后的秩等于删去第 \(i\) 行后的秩。

因为删去 \(s\) 后秩变化，所以 \(s\) 必然存在一个主元行。容易证明将某个主元列的 \(1\) 置 \(0\) 后的秩等于删去该行后的秩。故命题得证。

然后直接暴力枚举哪一步可以使对方必败即可。