Baltic Olympiad in Informatics 2020, Day 2

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究极下饭.jpg

A. Graph

考虑对每个连通块分别处理。

如果一个连通块是一棵树，直接设根节点是 \(X\)，然后可以用 \(X\) 表示所有节点。最后要求是 \(f(X)=\sum |X-a_i|\) 直接对 \(a_i\) 排序求中位数即可。

如果连通块是一个二分图，事实上如果所有偶环合法，那么等价于一棵树，否则无解，所以最后再判一波是否合法即可。

对于存在奇环的图，可以发现一个奇环就可以唯一确定这个图的所有变量，随便处理即可。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

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B. Village

这个构造总的来说还是比较水的。

首先是 Minimum 的部分。容易证明答案下界是 \(2(n-匹配个数)\)。

而且下界很容易达到：考虑贪心匹配一个点和一个未匹配的子节点，剩下子节点的连成一个环。最后根如果没有匹配强行插入任意一个子节点的环中。

然后是 Maximum 的部分。同样容易证明答案下界是以重心为根的子节点深度之和 \(\times 2\)。同样可以证明这也是答案上界：

• 首先如果以除了重心以外的子节点为根，必然有若干匹配路径不经过根。那么将根想重心移到，这些不经过根的匹配路径不变，其余深度变大。
• 如果存在路径不经过根，那么一定存在另一条路径也不经过根，交换终点总长度变大。

所以直接以重心为根，剩下随便构造一下即可。如果节点数为奇数，最后重心需要插入到任意一对匹配中。

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C. Viruses

可以发现的是 \(0\) 和 \(1\) 是没有突变可能的，所以如果一个串变化过程中出现 \(0,1\)，那么这些 \(0,1\) 就是固定的了。

如果没有抗体时怎么做：考虑用 \(f_i\) 表示 \(i\) 最小能变成多短的串，转移考虑用类似于 SPFA 的方式转移。

对于有抗体的情况：考虑建出所有抗体的 AC 自动机，那么 \(0,1\) 串的任意子串都不能是该串的子串。

考虑更改 dp 式子。设 \(f_{i,l,r}\) 表示字符 \(i\)，之前在 AC 自动机上的状态是 \(l\)，要变成 \(r\) 且不能经过终止节点的最短距离。

对于每一个转移边，本质上是将上述 dp 转化成 \(\min\) 矩阵形式，即

\[\prod_{i\in b} f_i \]

但是注意到这个 dp 可能会成环，不过我们要的是最短距离，所以不断增广，总转移数应该是 SPFA 的复杂度即 \(O(nm)\)，算一下是 \(O(n^6)\)。但众所周知 SPFA 复杂度特殊图根本卡不满，卡一卡常可以通过。

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