数论基础（一）

数学符号

整除 / 同余理论常见符号

整除符号：\(x \mid y\)，表示 \(x\) 整除 \(y\)。
取模符号：\(x \bmod y\)，表示 \(x\) 对 \(y\) 取模。
互质符号：\(x \perp y\)，表示 \(x\) 与 \(y\) 互质。
同余：\(n \equiv k \pmod m\)，表示\(n\) 与 \(k\) 在模 \(m\) 意义下同余。
最大公约数：\(\gcd(x, y)\)，也可记作 \((x, y)\)。
最小公倍数：\(\operatorname{lcm}(x, y)\)，也可记作 \([x, y]\)。

数论函数常见符号

求和符号：\(\sum\) 符号，表示满足特定条件的数的和。
求积符号：\(\prod\) 符号，表示满足特定条件的数的积。

逻辑符号

合取：\(\land\)，\(p \land q\) 表示 \(p\) 与 \(q\)。
析取：\(\lor\)，\(p \lor q\) 表示 \(p\) 或 \(q\)。
否定：\(\lnot\)，\(\lnot p\) 表示 \(p\) 的否定。
蕴含：\(\implies\)，\(p \implies q\) 表示 \(p\) 蕴含 \(q\)，即若 \(p\) 为真，则 \(q\) 为真。
等价：\(\iff\)，\(p \iff q\) 表示 \(p\) 与 \(q\) 等价。
存在：\(\exists\)；任意：\(\forall\)。

集合符号

属于：\(\in\)，\(x \in A\) 表示 \(x\) 为集合 \(A\) 中的元素。
不属于：\(\notin\)。
空集：\(\varnothing\)。
\(\{x_1, x_2, \dots, x_n \}\)，表示含元素 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的集合。
\(\{x \in A ~\vert~ p(x) \}\)，表示 \(A\) 中使命题 \(p(x)\) 为真的所有元素组成的集合。
包含：\(B \subseteq A\)，表示 \(B\) 为 \(A\) 的子集。
真包含：\(B \subset A\)，表示 \(B\) 为 \(A\) 的真子集。
并集：\(A \cup B\)，表示 \(A\) 与 \(B\) 的并集。
交集：\(A \cap B\)，表示 \(A\) 与 \(B\) 的交集。
多个集合的并集：\(\displaystyle \bigcup \limits_{i = 1} ^ n A_i\) 表示集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的并集。
多个集合的交集：\(\displaystyle \bigcap \limits_{i = 1} ^ n A_i\) 表示集合 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 的交集。

标准数集和区间符号

自然数集：\(\mathbb{N}\)，表示所有自然数构成的集合，使用 \(\mathbb{N^+}\) 来表示所有正整数。
整数集：\(\mathbb{Z}\)，表示所有整数构成的集合。
有理数集：\(\mathbb{Q}\)，表示所有有理数构成的集合。
实数集：\(\mathbb{R}\)，表示所有实数构成的集合。
复数集：\(\mathbb{C}\)，表示所有复数构成的集合。
（正）素数集：\(\mathbb{P}\)，表示所有（正）素数构成的集合。

关系符号

正比：\(a \propto b\)，表示 \(a\) 与 \(b\) 成正比。
远大于：\(a \gg b\)，表示 \(a\) 远大于 \(b\)。
远小于：\(a \ll b\)，表示 \(a\) 远小于 \(b\)。
无限大：\(\infty\)。
趋近：\(x \to a\)，表示 \(x\) 趋近于 \(a\)，常用于极限表达式中。

其他常见符号

阶乘符号：\(!\)，\(n!\) 表示 \(1 \times 2 \times 3 \times \dotsb \times n\)。特别的，\(0! = 1\)。
向下取整符号：\(\lfloor x \rfloor\)，表示不超过 \(x\) 的最大整数。
向上取整符号：\(\lceil x \rceil\)，表示大于等于 \(x\) 的最大整数。
组合数：\(\binom{x}{y}\)，表示从 \(x\) 个数中选出 \(y\) 个数的方案数。
第一类斯特林数：\(x \brack y\)；第二类斯特林数：\(x \brace y\)。

整除

定义

设 \(a, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0\)，\(\exists q \in \mathbb{Z}\)，使得 \(b = aq\)，那么 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a \mid b\)。

性质

\(a \mid b \iff -a \mid b \iff a \mid -1 \iff \lvert a\rvert \mid \lvert b\rvert\)
\(a \mid b \land b \mid c \implies a \mid c\)
\(a \mid b \land b \mid a \implies b = \pm a\)
设 \(m\) 不为 \(0\)，则 \(a \mid b \iff ma \mid mb\)
设 \(b\) 不为 \(0\)，则 \(a \mid b \implies \lvert a\rvert \le \lvert b\rvert\)

其他概念

因数（约数）：若 \(a \mid b\)，则 \(b\) 为 \(a\) 的倍数， \(a\) 为 \(b\) 的因数。
平凡因数：对于整数 \(b \neq 0\)，\(\pm 1\)，\(\pm b\) 称为 \(b\) 的平凡因数。
素数（质数）：只有平凡因数作为因数的数称为素数。

通常而言，约数指的是正约数。

最大公约数与最小公倍数

定义

最大公约数，即为 Greatest Common Divisor，缩写为 gcd。一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数，而最大公约数是其中最大的一个。
最小公倍数，即为 Least Common Multiple，缩写为 lcm。定义可以参考 gcd。

求法

如何求出一组整数的最大公约数与最小公倍数呢？我们可以先从两个整数 \(a\)、\(b (a > b)\) 开始考虑。处理这个问题的经典算法是欧几里得算法，又名辗转相除法。

具体而言，我们可以分两种情况讨论。假如 \(b \mid a\)，那么 \(b\) 即为 \(a\)、\(b\) 的最大公约数；但如果 \(b \nmid a\) 又该如何？这时候，就要用到辗转相除法的精髓：\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)。

证明：
设 \(a = kb + c\)，那么 \(c = a \bmod b\)。又令 \(a\)、\(b\) 的最大公约数为 \(d\)，显然有 \(d \mid c\)。考虑反证法：如果 \(\gcd(b, c) \ne d\)，那么 \(\gcd(a, b) = \gcd(kb + c, b) \ne d\)，与我们的假设 \(d\) 是 \(a\)、\(b\) 的最大公约数矛盾，因此“\(\gcd(b, c) \ne d\)”不成立，即 \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a\bmod b)\)。

那么，我们该如何利用这个性质求出 \(\gcd(a, b)\) 呢？我们可以考虑临界情况：当 \(b \bmod a = 0\) 时，显然 \(b\) 即为我们要求的最大公约数。那么我们可以进行递归求解，只要其中一个数为 \(0\) 即可停止。

不难写出这样的代码：

// 正常版本
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

// 三位运算符版本
int gcd(a, b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

那么，要求一组数的最大公约数，我们可以先求出前两个数的最大公约数，再求这个数与第三个数的最大公约数，以此类推即可。

那么 lcm 呢？我们可以用到这样一个性质：\(a \times b = \gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b)\)。

证明：
令 \(a = p_1^{k_{a_1}}p_2^{k_{a_2}}\dots p_s^{k_{a_s}}\)，\(b = p_1^{k_{b_1}}p_2^{k_{b_2}}\dots p_s^{k_{b_s}}\)。显然 \(\gcd(a, b) = p_1^{\min(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\min(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\min(k_{a_s}, k_{b_s})}\)，\(\operatorname{lcm} = p_1^{\max(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\max(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\max(k_{a_s}, k_{b_s})}\)。不难看出，\(a \times b = \gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b)\)。

那么，我们只需要类比上面的思路，求出最大公约数之后再求出最小公倍数即可。

posted @ 2024-02-04 10:43 Floze3 阅读(489) 评论(0) 收藏举报

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