0阶段-第二日-生成树与LCA

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第二日，生成树与LCA

从上至下知识点对应为：
1-3、最小生成树（MST），prim或kruskal算法
4、求多颗最小生成树（或许这么称呼不太严谨），kruskal算法
5、最大瓶颈生成树(MBST)，prim或kruskal算法
6、LCA，树上倍增
7、最大生成树+LCA，树上倍增+Kruskal重构树

一些新内容，整理一下：
1、prim与kruscal算法
prim算法一般不常用，个人认为没有什么明显的性质。不过可能在某些暴力方法中有些用途。
Kruscal：设有n个节点，kruscal算法开始时可看作有n棵最小生成树，每加一条边减少一颗最小生成树（因为一条边会把两颗树合并为一颗最小生成树），如果题意要求把原图划分为k个代价最小的连通子图，那么这一利用这一个性质。没有证明。
如果稠密图kruscal超时（eloge）。可以考虑朴素的prim(n²)

2、瓶颈生成树
最大瓶颈生成树为树上边权最小值最大的树，最小瓶颈树为书上边权最大值最小的生成树。 最小生成树一定是最小瓶颈树。 最大生成树一定是最大瓶颈树(猜测)。 反之不成立。

3、树上倍增
利用倍增思想。求LCA时，其中关键为fa[x][i]，表示节点x的第2^i的祖先。这样通过预处理fa，可以把单次朴素查询LCA的O(n)复杂度，优化到O(logN)，N时数据范围的上限。 相关利用倍增思想的还有ST表，两者很相似。

4、kruscal重构树与瓶颈路径
两点间(x,y)：
最小瓶颈路径：连通x、y两点所有路径的最大边权的最小的路径。
最大瓶颈路径：连通x、y两点所有路径的最小边权的最大的路径。
kruscal重构树：利用kruscal算法合并的一颗与生成树不用的树，其中要把边拆点，点权值为所拆边权值，按照并查集合并的树形加边。
重构最小生成树，那么LCA(x,y)的点权值为最小瓶颈路径的最大边权。
重构最大生成树，那么LCA(x,y)的点权值为最大瓶颈路径最小边权。
瓶颈路径可以用floyd，但是时间复杂度为O(n的立方)，显然超时。

学习参考地址https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/9746449.html