算法学习-埃氏筛和欧拉筛
两种筛法求正整数N（N>=2）以内的所有素数
- 为什么要用筛法？
如果暴力枚举，对于每一个正整数n，我们都要从2尝试到n-1对n进行除法，如果只有一个正整数n，那是相当轻松的，但如果得出一个大范围内所有的素数，那枚举注定效率低下。于是筛法应运而生（大概）。 - 什么是筛法求素数？
与其一个一个地找素数，不如先排除所有非素数，也就是合数以及 0，1
接下来先介绍最简单的埃氏筛
埃氏筛
1.知识储备
任何一个大于1的自然数都能被唯一分解有限个质数的乘积，如\(\ X=P1^{a1}+P2^{a2}+······+Pn^{an}\)其中\(P\)为质数，\(a\)为指数.
2.原理
- 要想筛选出素数，我们得先筛选出合数，也就是先把合数标记上：
对于N范围内的所有正整数，①若为合数，则其必可以表示为比起小的两个或多个素数的乘积，反过来说，②n内的所有素数，必可以通过几几相乘来表示n范围内的所有合数，进一步说，③对n内的每个素数m，对其进行2~i的乘法（ m*i 恰好小于n），必能表示成n内的所有合数。仔细想想②和③的结果是等价的。
这样，通过③我们就能找出n内的所有合数了并将其标记了。 - 那要怎么标记？
我们可以通过使用bool型数组，如 bool arr[n+5]={1,1} 来标记合数。arr[i]=0 表示整数i未被标记，arr[i]=1表示整数 i 被标记为合数。其中前两个 1 是预先给 0 ，1 标记为非素数。
上代码
int n=0,j=0,i=0,prime[10000]={0};
bool arr[100000]={1,1};
cin>>n;
for (i=2,j=2;i<=n;++i,j=2)
if (arr[i]==0)//前几位总是质数，自然也没标记
{
prime[t]=i; //prime用于存素数
++t;
while (i*j<=n)
{
arr[i*j]=1;
++j;
}
}
这样就把n内所有素数存入数组 prime 了。
当然也可以简化一下：
for (i=2,j=2;i<=n;++i,j=2)
if (arr[i]==0)
{
prime[t++]=i;
while (i*j<=n) arr[i*j++]=1;
}
当然还可以进一步优化埃氏筛
我们知道，每次求整数i*j的时候，j都是从二开始，这样肯定会造成不少重复，如" i=2，j=3 "与" i=3,j=2 "。所以我们把每次运算前，令j=i，来减少这些重复：
for (i=2,j=2;i<=n;++i,j=i)//此处修改
if (arr[i]==0)
{
prime[t++]=i;
while (i*j<=n) arr[i*j++]=1;
}
（不过这样不会爆int吗？？？？）
以上便是埃氏筛的实现。
欧拉筛
哪怕另j=i，我们也无法避免重复，例如"i=2,j=6"和"i=3,j=4"时，这两者的j都是大于i的，但还是存在着对 arr[12] 进行重复标记 1 的情况。而欧拉筛可以完美的解决这些问题，在n足够大时，欧拉筛的速度可以是埃氏筛的 3~4 倍。（所以DIO在埃及被阿强欧拉了）
埃氏筛与欧式筛的基本理念相同，但实现原理不同。代码如下:
bool isp[MAXN];
int p[MAXN];
void euler(int n){
int cnt=0;
for(int i=2;i<=n;++i){
if(!isp[i]) p[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
isp[p[j]*i]=1;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
}
这东西比较抽象。
如果要理解，最好的办法还是自己从 i=2 开始一步一步尝试为好。
讲一下自己理解的特点：
- 本身代码的特点实现了对于 arr[j]*i ，总有 i>=j
- 最后 if (i%arr[j]==0) break; 防止了i>=j 时有的重复标记
没了。
学习自：诶嘿
这位dalao讲得挺好的，可以在上面找到更详细的欧拉筛也就是线性筛的解释。
