初赛复习

重要知识点

卡特兰数

以下是一些卡特兰数 \(C_n\) 的应用：

  • 二叉树计数

    • \(n\) 个结点的不同形态的二叉树的数量是卡特兰数 \(C_n\)。

  • 括号匹配

    • \(n\) 对括号的有效组合数。

  • 栈操作序列（出栈顺序）

    • \(n\) 个元素的出栈顺序数。

  • 凸多边形的三角划分

    • \(n + 2\) 条边的凸多边形划分成三角形的方法数。

  • Dyck路径（格路问题）

    • 从 \((0,0)\) 到 \((2n,0)\)，每次向右上或右下移动一步，且不越过 \(x\) 轴的路径数。

  • 满二叉树计数

    • \(n + 1\) 个叶子的满二叉树的数量。

  • 表达式加括号

    • \(n + 1\) 个因子的乘法表达式加括号的方式数，例如：\(4\) 个因子 \(a,b,c,d\) 有 \(5\) 种加括号方式：\((a(b(cd))),(a((bc)d)),((ab)(cd)),((a(bc))d),(((ab)c)d)\)。

  • 棋盘不相交对角线

    • \({n} \times {n}\)棋盘上放置不相交的对角线（从左上到右下）的方法数。

  • 凸多边形划分

    • \(n + 2\) 边形的顶点配对成不相交的弦的方式数。

主定理

主定理（Master Theorem）是用于求解分治算法递归式时间复杂度的一个强大工具。它适用于形式如下的递归关系：

\[T(n) = a \times T(\frac{n}{b}) + f(n) \]

其中：

  • \(a \ge 1\)（子问题的数量）；

  • \(b > 1\)（问题规模缩小的倍数）；

  • \(f(n)\) 是递归之外的计算成本（分割和合并的成本）。

主定理通过比较 \(f(n)\) 和 \({n} ^ {\log_{b} {a}}\) 的大小关系，将递归式的解分为三种情况：

  • \(f(n) < {n} ^ {\log_{b} {a}}\)，则 \(T(n) = \Theta ({n} ^ {\log_{b} {a}})\)；

  • \(f(n) = {n} ^ {\log_{b} {a}}\)，则 \(T(n) = \Theta ({n} ^ {\log_{b} {a}} \log {n})\)；

  • \(f(n) > {n} ^ {\log_{b} {a}}\)，则 \(T(n) = \Theta (f(n))\)。

这只是简化过的情况，可以自行去了解更加详细的主定理。

存储单位

\(\text{bit}\)（比特，即一位二进制）

\(\text{Byte}\)（字节，即一个英文字符）

\(1 \text{Byte} = 8 \text{bit}\)

\(\text{KB} \to \text{MB} \to \text{GB} \to \text{TB} \to \text{PB}\)

Windows 与 Linux 的一些操作命令

操作描述 Windows 命令 Linux / Unix 命令
列出目录内容 dir ls
改变当前目录 cd <目录路径> cd <目录路径>
返回上一级目录 cd .. cd ..
显示当前目录路径 cd pwd
创建新目录 mkdir <目录名> mkdir <目录名>
删除空目录 rmdir <目录名> rmdir <目录名>
删除文件 del rm
复制文件 copy cp
移动/重命名文件 move mv
查看文件内容 type cat
分页查看文件内容 more less
查找文件 dir /s <文件名> find / -name <文件名>
查找文本 findstr "文本" <文件> grep "文本" <文件>

排序

排序算法 平均时间复杂度 最好情况 最坏情况 空间复杂度 是否稳定
冒泡排序 \(O(n ^ 2)\) \(O(n)\) \(O(n ^ 2)\) \(O(1)\) 稳定
插入排序 \(O(n ^ 2)\) \(O(n)\) \(O(n ^ 2)\) \(O(1)\) 稳定
选择排序 \(O(n ^ 2)\) \(O(n ^ 2)\) \(O(n ^ 2)\) \(O(1)\) 不稳定
归并排序 \(O(n \log {n})\) \(O(n \log {n})\) \(O(n \log {n})\) \(O(n)\) 稳定
快速排序 \(O(n \log {n})\) \(O(n \log {n})\) \(O(n ^ 2)\) \(O(\log n)\) 不稳定
堆排序 \(O(n \log {n})\) \(O(n \log {n})\) \(O(n \log {n})\) \(O(1)\) 不稳定
计数排序 \(O(n + k)\) \(O(n + k)\) \(O(n + k)\) \(O(n + k)\) 稳定
基数排序 \(O({n} \times {k})\) \(O({n} \times {k})\) \(O({n} \times {k})\) \(O(n + k)\) 稳定
希尔排序 \(O(n ^ {1.3})\) \(O(n)\) 或 \(O(n \log {n})\) \(O(n ^ 2)\) \(O(1)\) 不稳定
TimSort \(O(n \log {n})\) \(O(n)\) \(O(n \log {n})\) \(O(n)\) 稳定
  • 基于关键字比较的算法：冒泡排序，选择排序，插入排序，快速排序，归并排序，堆排序。

09/16

  • 层次遍历是按层从小到大，每一层从左到右的顺序遍历。

  • 5 个没有区别的结点构成不同形态的二叉树的种类的个数。

    • 因为卡特兰数 \(C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}\) 能表示具有 \(n\) 个结点的不同二叉树的形态数，所以答案为 \(C_5 = \frac{1}{6} \binom{10}{5} = 42\)；
    • 由于我比较蒟蒻，我的方法是令 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(i\) 个点，\(j\) 层数，最后一层有 \(k\) 个点的方案数，然后慢慢转移。其实 \(5\) 个点还是能接受的。

  • 线性表若采用链表存储结构，内存中可用存储单元的地址可以是不连续的（即不一定要求地址连续）。

    • 链表不需要连续的内存空间，而是利用分散的内存块通过指针串联起来。这与数组（顺序存储结构）形成对比，数组要求连续的内存空间。

  • 在 Linux 系统中，比较两个文件有无不同之处的命令是 diff。

    • 在 Windows 系统中应该是 fc。

  • 断电之后仍能保存数据的（非易失性存储器）有 硬盘、固态硬盘、U盘/闪存驱动器、光盘、ROM（只读存储器） 等；易失性存储器有 RAM (可读写储存器)、Cache (高速缓存)、显存 (VRAM） 等。

  • 田忌赛马问题

    • 站在田忌角度思考问题，考虑贪心，对两人的马的能力值进行排序，先比较两人最好的马，若不能赢，则比较两人最差的马，若还不能赢，就用田忌最差的马去换齐王最好的马，尽量平局。
    • 证明：其实就是能赢就赢嘛，如果想用田忌较弱的赢齐王较强的，再用田忌较强的赢齐王较弱的，那么这样的对局也可以变成用田忌较强的赢齐王较强的，再用田忌较弱的赢齐王较弱的，后者的方法不劣。

09/17

  • 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗，分别有 \(2,2,3,3\) 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，那么这些旗子总共可以表示不同的信号的种数。

    • 考虑分类计数：
      1.三个颜色都不同时，有 \(A_{4}^{3} = 24\) 种；
      2.两个颜色相同，一个不同时，有 \({4} \times {3} \times {\binom{3}{1}} = 36\) 种，其中重复的颜色有 \(4\) 种选择，剩下 \(3\) 种颜色中选出一个单独放进去，位置有 \(\binom{3}{1}\) 种选择；
      3.三个颜色都相同时，只能放蓝和绿色的小旗，故有 \(2\) 种。
    • 综上所述，这些旗子总共可以表示不同的信号种数为 \(24 + 36 + 2 = 62\) 种。

  • \(T(n)\) 表示某个算法输入规模为 \(n\) 时的运算次数。如果 \(T(1)\) 为常数，且有递归式 \(T(n) = 2 \times T(\frac{n}{2}) + n − 3\)，求 \(T(n)\)。

    • 有两种做法：递归树法和主定理法。这里将主定理法：
      \(a = 2,b = 2,f(n) = n - 3\)；
      \({n} ^ {\log_{b} {a}} = {n} ^ {\log_{2} {2}} = {n} ^ {1} = n\)；
      \(f(n) = n - 3 = \Theta (n)\)；
      所以属于第二种情况 \(f(n) = {n} ^ {\log_{b} {a}}\) 时，\(T(n) = \Theta (n \log {n})\)。

  • 某学校来了一位新老师，三个同学猜测新老师教什么科目，小美说：“不是教语文，也不是教数学”；小元说：“不是教数学，一定是教英语”；小天说：“不是教英语，一定是教数学”。他们三人中有一人全猜对了，一人全猜错了，还有一人只猜对了一半。问：新老师究竟教什么科目？

    • 分别假设新老师为语文，数学，英语老师，接着判断三人的正确性，结合提示，得出最后的结果即可。

  • 方程 \(a \times b = (a \lor b) \times (a \land b)\)，在 \(a,b\) 都取 \([0,15]\) 中的整数时，存在解的组数。

    • 成立的前提是 \(a\) 的二进制位是 \(b\) 的子集，或 \(b\) 的二进制位是 \(a\) 的子集（即一个数包含另一个数的所有位置）。
    • 那么答案就是 \({2} \times {{3} ^ {4}} - 16 = 146\)，其中：
      枚举 \(a\) 的子集 \(b\) 为 \(\sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} {2} ^ {k}\)，利用二项式定理，得为 \({(1+2)} ^ {4} = 81\)，\(a\)，由于对称 \(a \subseteq b\) 和 \(b \subseteq a\) 的情况，乘以 \(2\)；最后减去 \(a = b\) 时重复计算的 \(16\) 次。

09/18

零碎的做了一些题，虽然依旧被薄纱（特别是 2024-S 最后一题），但是没什么特别必要记录的题。

做前面的选择题还要考虑暴力模拟 dp 吗？？？

  • 关于 memset

memset(a,x,sizeof a) 中 \(x\) 可能为 0x00,0xff,0x1f,0x3f,0x7f,0x80,0xcf,0xef 等。

拿 0x3f 举例，在 int 下就是 \((3F3F3F3F)_{16}\)，在 long long 下就是 \((3F3F3F3F3F3F3F3F)_{16}\)。

初始化值 int 数组效果 (32位) long long 数组效果 (64位) 有符号 int 值 有符号 long long 值 常见语义
0x00 0x00000000 0x0000000000000000 \(0\) \(0\) 零
0xFF 0xFFFFFFFF 0xFFFFFFFFFFFFFFFF \(-1\) \(-1\) 负一
0x3F 0x3F3F3F3F 0x3F3F3F3F3F3F3F3F \(1,061,109,567\) \(4,557,014,598,15,606,335\) 安全正无穷
0x7F 0x7F7F7F7F 0x7F7F7F7F7F7F7F7F \(2,139,062,143\) \(9,223,372,036,854,775,807\) 较大正数
0x80 0x80808080 0x8080808080808080 \(-2,139,062,144\) \(-9,223,372,036,854,775,808\) 负无穷
0xCF 0xCFCFCFCF 0xCFCFCFCFCFCFCFCF \(-808,464,433\) \(-3,619,344,231,715,046,737\) 大负数
0xEF 0xEFEFEFEF 0xEFEFEFEFEFEFEFEF \(-272,716,322\) \(-1,172,812,30,314,442,385\) 较大负数

注意事项：

  • "正无穷" → 选择 0x3F

  • "负无穷" → 选择 0x80

  • "-1" → 选择 0xFF

  • 避免使用 0x7F：有溢出风险（\({2} \times {\text{0x3F}} < {\text{0x7F}}\)）

  • 谨慎使用 0xCF、0xEF

  • 特殊的时候可能运用到其他的类似于 0x1f。

09/19

初赛前最后一晚，复习些啥好呢？？？

  • 阅读程序小技巧：

    • 对于二进制函数 \((x,y)\)，可以先化简再分别代入 \(x = 0/1,y = 0/1\) 列表找规律。
    • \(\lor\) 是不进位加，\(\oplus\) 是不退位减。

  • 关于二进制之间的转化：

    • \(x + y = {x} \land {y} + {x} \lor {y}\)
    • \({x} \oplus {y} = {({x} \land {\neg {y}})} \lor {({\neg {x}} \land {y})}\)
    • \({{({x} \land {y})} \oplus {(({x} \oplus {y})}} \lor {({\neg {x}} \land {y})}\)（2024-S 中出现，可以通过找规律得到）
posted @ 2025-09-16 21:02  Fireworks_Rise  阅读(5)  评论(0)    收藏  举报