【动态规划】状态压缩DP（状压dp）

还在更新ing

一、引入

在动态规划状态设计中，若状态是一个集合，例如 \(S=\) { \(1,0,1,1,0\) } ，则表示第 \(1、2、4\) 个节点被选中（从右往左对应 \(0 \sim 4\) 号节点）。若集合的大小不超过 \(N\) ，则集合中的每个元素都是小于 \(K\) 的正整数，可以把这个集合看作一个 \(N\) 位 \(K\) 进制数，以一个 \([0,K^N-1]\) 的十进制整数作为 DP 状态。可以将 \(S=\) { \(1,0,1,1,0\) } 看作一个 \(5\) 位二进制数 \(10110\) ，其对应的十进制数为 \(21\) 。
这种将集合作为整数记录状态的一类算法叫作状态压缩 DP 。在状态压缩 DP 中，状态的设计直接决定了程序的效率或者代码长短。我们需要根据问题分析本质，才能更好地找出恰当的状态表示、状态转移方程和边界条件。

二、二进制 & 位运算

尽管用了一个十进制数据储存二进制状态，当因为操作系统是二进制的，所以在编译器中也可采用位运算解决这个问题。

1、基本位操作运算符

在状态压缩 DP 中广泛运用位运算操作，常见的位运算如下：

`A`	`B`	`~A`（差）	\(A \& B\)（与）	\(A \| B\)（或）	`A ^ B`（异或）
0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	0

如果 \(A,B\) 为整数，则可看成长度为 \(32\) 位的两个二进制数各个位分别做上面操作。
例如：
\(A＝10 = (1010)_B,B＝12 = (1100)_B\) 时，

\(A \& B = 8 = (1000)_B\)
\(A | B = 14 = (1110)_B\)
\(A\) ^ \(B = 6 (0110)_B\)
~ \(A = -11 (1...10101)_B\)

另外，还有两个位移操作运算符左移(<<)、右移(>>)。
如：A<<B，表示 \(A\) 的所有位都向左移动 \(B\) 个，后面 \(B\) 位用 \(0\) 补充。
注意，对二进制数，位数高低为从右到左依次为 \(0\) 位、\(1\) 位、\(2\) 位 \(\ldots\) 。
所以我们可以认为 A<<B 等价于 \(A \times 2B\)；A>>B 等价于 \(\frac {A}{2B}\)。

2，常见的操作有：

去掉最后一位 ( \(101101 \to 10110\) ) x >> 1
在最后加一个 \(0\) ( \(101101 \to 1011010\) ) x << 1
在最后加一个 \(1\) ( \(101101 \to 1011011\) ) x << 1 | 1
把最后一位变成 \(1\) ( \(101100 \to 101101\) ) x | 1
把最后一位变成 \(0\) ( \(101101 \to 101100\) ) x | 1 - 1
最后一位取反 ( \(101101 \to 101100\) ) x ^ 1
把右数第 \(k\) 位变成 \(1\) ( \(101001 \to 101101,k=3\) ) x | (1 << (k - 1))
把右数第 \(k\) 位变成 \(0\) ( \(101101 \to 101001,k=3\)) x & not (1 << (k - 1))
右数第 \(k\) 位取反 ( \(101001 \to 101101,k=3\) ) x ^ (1 << (k - 1))
取末三位 ( \(1101101 \to 101\) ) x & 7
取末 \(k\) 位 ( \(1101101 \to 1101,k=5\) ) x & (1 << k - 1)
取右数第 \(k\) 位 ( \(1101101 \to 1,k=4\) ) x >> (k - 1) & 1
把末 \(k\) 位变成 \(1\) ( \(101001 \to 101111,k=4\) ) x | (1 << k-1)
末 \(k\) 位取反 ( \(101001 \to 100110,k=4\) ) x ^ (1 << k-1)
把右边连续的 \(1\) 变成 \(0\) ( \(100101111 \to 100100000\) ) x & (x + 1)
把右起第一个 \(0\) 变成 \(1\) ( \(100101111 \to 100111111\) ) x | (x + 1)
把右边连续的 \(0\) 变成 \(1\) ( \(11011000 \to 11011111\) ) x | (x - 1)
取右边连续的 \(1\) ( \(100101111 \to 1111\) ) (x ^ (x + 1)) >> 1

3、表示集合（状态压缩）

有时我们用 \(32\) 位的整型数的各个位表示一个最多 \(32\) 个元素的集合，第 \(i\) 位为 \(1\) 表示第 \(i\) 个元素在集合中，为 \(0\) 则表示不在集合中。
常见的操作有：
并集操作 A | B
交集操作 A & B
集合的差 A & ~ B
补集 -1 ^ A （ \(-1\) 为二进制数 \(111...1\))
加入第 \(i\) 个元素 A = A | (1 << (i - 1))
删除第 \(i\) 个元素 A = A & ~ (1 << (i - 1))
判断第 \(i\) 个元素 (A & (1 << (i - 1))) != 0

4、lowbit

求最低位的 \(1\) 的位置，即著名的 lowbit 问题。

lowbit(int x) {
	return x&(-x);
}

三、实现流程

状态压缩 DP 大可分为两类：

棋盘式（基于连通性）DP
集合式 DP

状态压缩dp三部曲：

考虑如何状态压缩
确定状态表示和状态转移方
根据实际问题确定筛选条件

例题引入

著名的旅行商问题（ Traveling Salesman Problem，TSP ）指一个旅行商从一个城市出发，经过每一个城市一次且只有一次回到原来的地方，要求经过的距离最短。
在这里插入图片描述
TSP 问题是一个 NP 难题，目前没有多项式时间的高效算法。若采用搜索+剪枝，则该算法的时间复杂度为 \(O(n!)\) ，数据量大时，这种方法无法解决，可以尝试采用动态规划解决。
假设已访问的节点集合为 \(S\) （将源点 \(0\) 当作未被访问的节点，因为从 \(0\) 出发，所以要回到 \(0\) ），当前所在的节点为 \(u\) 。

I. 状态表示

\(f_{S,u}\) 表示已经访问的节点集合为 \(S\) ，从 \(u\) 出发走完所有剩余节点回到源点的最短距离。

II. 状态转移方程

若当前 \(u\) 的邻接节点 \(v\) 未被访问，则 \(f_{S,u}\) 由两部分组成，第 \(1\) 部分是 \(u\) 到 \(v\) 的边值，第 \(2\) 部分是从 \(v\) 出发走完所有剩余节点再回到源点的最短距离。访问完 \(v\) 之后，已访问的节点集合变为 \(S \cap\) { \(v\) } ，若 \(u\) 有多个未被访问的邻接点 \(v\) ，则取最小值。

\[f_{S,u}=\min(f_{S \cap v,v}a+w_{u \to v} | v \notin S） \]

III. 临界条件

\(f_{(1<<n)-1,0}=0\) ,表示若所有节点都被访问，则此时已经没有剩余节点，从 \(0\) 节点出发走完所有剩余节点回到源点的最短距离为 \(0\) 。

Code

void Traveling() {    //计算f[S][u]
	f[(1<<n)-1][0]=0;     //1<<n一定要加括号（别问我为什么）
	for(int S=(1<<n)-2;S>=0;S--) {
		for(int u=0;u<n;u++) {
			for(int v=0;v<n;v++) {
				if((u!=0&&!(S>>u&1))||w[u][v]==inf) continue;   //可以加约束条件，不加太多状态
				if(!(S>>v&1)&&f[S][u]>f[(S|1<<v)][v]+w[u][v]) {
					f[S][u]=f[(S|1<<v)][v]+w[u][v];
					path[S][u]=v;     //记录后继节点
				} 
			} 
		}
	}
}

训练 1 ：[USACO06NOV] Corn Fields G

源自洛谷 P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

题目描述

农场主 \(\rm John\) 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 \(M\) 行 \(N\) 列 \((1 \le M \le 12; 1 \le N \le 12)\)，每一格都是一块正方形的土地。 \(\rm John\) 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。

遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是 \(\rm John\) 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

\(\rm John\) 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

输入格式

第一行：两个整数 \(M\) 和 \(N\)，用空格隔开。

第 \(2\) 到第 \(M+1\) 行：每行包含 \(N\) 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第 \(i+1\) 行描述了第 \(i\) 行的土地，所有整数均为 \(0\) 或 \(1\) ，是 \(1\) 的话，表示这块土地足够肥沃，\(0\) 则表示这块土地不适合种草。

输出格式

一个整数，即牧场分配总方案数除以 \(100,000,000\) 的余数。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 1 1
0 1 0

样例输出 #1

题解

I. 分析题意

本题求在值为 \(1\) 的土地上种上植草地，每个草地的上下左右相邻的土地上不能有草地，求所有的种植方案数。

II. 算法设计

Code

posted @ 2023-11-06 14:02 Fireworks_Rise 阅读(287) 评论(0) 收藏举报

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【动态规划】状态压缩DP（状压dp）

还在更新ing

一、引入

二、二进制 & 位运算

1、基本位操作运算符

2，常见的操作有：

3、表示集合（状态压缩）

4、lowbit

三、实现流程

例题引入

I. 状态表示

II. 状态转移方程

III. 临界条件

Code

训练 1 ：[USACO06NOV] Corn Fields G

题目描述

输入格式

输出格式

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

题解

I. 分析题意

II. 算法设计

Code

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