CF111C Petya and Spiders （状压 dp）

CF111C Petya and Spiders

状压 dp

观察到数据范围 \(n\cdot m\le40\)，所以最短边 \(\le 6\)。然后题目的要求就是将网格用四连通块全覆盖的最少数量。

然后考虑一行一行放蜘蛛，那么假设当前考虑完了前 \(i\) 行（前 \(i-1\) 行全部铺满），那么第 \(i\) 行每个位置有三种情况：

1. 建立避难所
2. 左或右或上有避难所可以蹭
3. 没有找到避难所

那么用三进制状态 \(s\) 记录当前行状态，设 \(f_{i,s}\) 表示考虑完前 \(i\) 行，第 \(i\) 行的状态为 \(s\) 的方案数。

转移枚举下一行的状态（这里只枚举放不放避难所），根据第 \(i\) 行填充第 \(i+1\) 行 \(2\) 情况的位置。需要判断合法，因为转移到 \(f_{i+1,t}\) 要保证第 \(i\) 行最终被填满。

注意初始化 \(f_{0,lim}=0\)，复杂度 \(O(m6^n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3, M = 41;
int n, m, lim, ans;
int f[M][N];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	std::cin >> n >> m;
	if(n > m) std::swap(n, m);

	lim = 1;
	for(int i = 0; i < n; i++) lim *= 3;
	for(int i = 0; i <= m; i++) {
		for(int s = 0; s < lim; s++) f[i][s] = -iinf;
	}
	f[0][lim - 1] = 0; //注意初始化

	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		for(int s = 0; s < lim; s++) { //上一行
			for(int t = 0; t < (1 << n); t++) { //当前行
				int T = 0, cnt = 0;
				for(int j = 0, base = 1; j < n; j++, base *= 3) {
					if(!((t >> j) & 1)) continue;
					if(j + 1 < n && !((t >> 1 >> j) & 1)) T += base * 2;
					else if(j && !((t << 1 >> j) & 1)) T += base * 2;
					else if(!((s / base) % 3)) T += base * 2;
					else T += base;
					if((s / base) % 3 == 1) cnt = -iinf;
					else cnt++; 
				}
				f[i][T] = std::max(f[i][T], f[i - 1][s] + cnt);
			} 
		}
	}

	for(int s = 0; s < lim; s++) {
		bool flg = 1;
		for(int i = 0, base = 1; i < n; i++, base *= 3) {
			if((s / base) % 3 == 1) flg = 0;
		}
		if(flg) ans = std::max(ans, f[m][s]);
	}
	std::cout << ans << "\n";

	return 0;
}