电磁学典题若干

以下为近期没有一遍做对的电磁学题目，虽然都不难但是不妨一写

第一题

这是ipu电磁测试的第三题，也是我在这场考试中失分最多的题目，原因是我看见这个图以为是程电上的练习题，于是为节省时间题都没读直接默写步骤，然后只得了6分，事后发现懊悔不已，其实就是一道简单电介质题目，本来可以接近满分的，却因读题问题而失去了大量分数。如此状态，何以出成绩？

解：

(1) 设圆柱面的单位带电量为 \(\lambda\)，面电荷密度为 \(\sigma\)，则 \(\lambda=2\pi r\sigma\)，\(Q=\lambda l\)

考虑电介质中的高斯定理，取一段长为 \(l\) 的圆柱面为高斯面，关于电位移矢量 \(D\) 有 \(2\pi rlD=\lambda l\)，\(D=\frac{\lambda}{2\pi r}\)，又因 \(\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}\)，故电场 \(E=\frac{\lambda}{2\varepsilon \pi r}\)，显然 \(r=r_0\) 处，\(E\) 最大，\(E_0=\frac{\lambda}{2\varepsilon \pi r_0}\)。

电压 \(V=\int^{R}_{r_0}E\mathrm{d}r=\frac{\lambda}{2\varepsilon \pi}\ln{\frac{R}{r_0}}=E_0r_0\ln{\frac{R}{r_0}}\)

求极值，\(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r_0}=E_0(\ln{\frac{R}{r_0}}-1)=0\),故 \(r_0=\frac{R}{e}\) 时电压 \(V\)最大。

取 \(l=1\)，电容器单位储能 \(W=\frac{1}{2}QV=\frac{\lambda^2}{4\varepsilon\pi r_0}\ln{\frac{R}{r_0}}=\pi\varepsilon E_0^2r_0^2\ln{\frac{R}{r_0}}\)

求极值，\(\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} r_0}=\pi\varepsilon E_0^2r_0(2\ln{\frac{R}{r_0}}-1)=0\)，\(r_0=\frac{R}{\sqrt{e}}\)

(2) 外层接地电势为 \(0\)，故外层与无穷远处之间的电压为 \(0\)，运用 \(1\) 中的结论，\(V_0-V_1=E(r_0)r_0\ln{\frac{r_1}{r_0}}\)，\(V_1-0=E(r_1)r_1\ln{\frac{R}{r_1}}\)。由题意 \(E_{r_0}=E_{r_1}\)，两式作商得 \(\frac{V_0-V_1}{V_1}=\frac{r_0\ln{\frac{r_1}{r_0}}}{r_1\ln{\frac{R}{r_1}}}\)，移项得 \(\frac{V_0}{V_1}=\frac{r_0\ln{\frac{r_1}{r_0}}}{r_1\ln{\frac{R}{r_1}}}+1\)

第二题（才高八斗）

（其实是绝对经典模型，不过我见识题少了）

求长度为 \(2l\) 线电荷密度为 \(\lambda\) 的均匀带电线段在平面中的等势线方程

参考文献 和难集写的感觉都不是很好懂，所以我结合ipu老师的讲课写了这篇博客

本人没有系统学过解析几何，所以写的可能比较烂

定性分析是简单的，如下图，有限长均匀带电直线在一点的电场强度与相应的圆弧在这点的电场强度相同，故弧的中点所产生的电场的方向即为线段 \(AB\) 所产生的电场，圆弧对点 \(P\) 的张角为 \(\angle APB\)，弧的中点在 \(\angle APB\) 的平分线上，电场强度的方向也应沿 \(\angle APB\) 的平分线。

从椭圆的几何光学性质出发，发现光线从椭圆的一个交点入射会从另外一个交点反射，故反射中法线的垂线为椭圆的切线，根据反射定律法线为入射角与反射角的角平分线。结合两段分析，在上述问题中，\(\mathbf{E}\) 的方向如下图所示。图中矢量 \(\mathbf{\tau}\) 与 \(\mathbf{E}\) 的方向垂直，故 \(\mathbf{\tau}\cdot \mathbf{E}=0\)，因为 \(E=-\nabla \varphi\)，所以 \(\mathbf{\tau}\cdot \nabla \varphi=0\)，由梯度的定义，可知 \(\varphi\) 在 \(\mathbf{\tau}\) 方向的微小变化量 \(\mathrm{d}\varphi\) 为 \(0\)。

所以长度为 \(2l\) 的均匀带电线段在平面中的等势线为以 \(A,B\) 为焦点的椭圆族，易得方程为

\[\begin{flalign*} &\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-l^2}=1& \end{flalign*} \]

\(a\) 为椭圆的半长轴，为可调参量，取值范围为 \(a>l\)。

（自己画的图，见谅）

类似的，由于双曲线和椭圆具有相同焦点的曲线是正交曲线系，此处角 \(\angle APB\) 平分线 \(\mathbf{E}\) 的方向为以 \(A,B\) 为焦点的双曲线的切线方向，所以长度为 \(2l\) 的均匀带电线段在平面中的电场线为以 \(A,B\) 为焦点的双曲线族，方程为

\[\begin{flalign*} &\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{l^2-a^2}=1& \end{flalign*} \]

\(a\) 为双曲线为双曲线顶点与坐标原点 \(O\) 的距离，为可调参量，与上面 \(a\) 的意义和大小不一样，取值范围为 \(0<a<l\)。

接下来考虑求 \(a\) 已知处的等势面的电势

\[\begin{flalign*} &\varphi=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_{-l}^{l}\frac{\lambda\mathrm{d}x}{a-x}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\ln\frac{a+l}{a-l}& \end{flalign*} \]

如果是 \(b\) 已知处，发现 \(x=0,y=b=a^2-l^2\) 处的电势比较好求

\[\begin{flalign*} &\varphi=\frac{2}{4\pi \varepsilon_0}\int_{0}^{l}\frac{\lambda\mathrm{d}x}{\sqrt{b^2+x^2}}=\frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\mathrm{arcsinh}\frac{l}{b}& \end{flalign*} \]

另一种考法：求接地旋转椭球型导体的电容 \(C=\frac{Q}{U}=\frac{\lambda\cdot 2l}{\varphi-0}\)，电量由唯一性定理确定（用高斯定理考虑也行）

第三题

一个半径为 \(R\)，总电量为 \(q\) 的均匀带电球体以角速度 \(\omega\) 转动，求远处的磁场。

本题来源是叶邦角红皮电磁学，书上的方法是用一个特别困难的积分暴力求磁矢势，然后求旋度，在此介绍一种比较物理的方法，当然书上的方法也说一说