电动力学

写的是对目前我阶段的竞赛没啥用的东西，单纯为了缓解中考的压力而写，效仿知乎物理区大佬Echoes。本文基于格里菲斯、郭硕鸿、刘川（注意到难度单调递增），还有一些神秘机构的课（xes，ycd，主要想看看老师对四大的见解），例题习题不想敲在博客上，有时间会上传手写版

本文的篇幅将非常长，大概比网络上很多大学老师的电动力学讲义要长（主要是本人太菜了）。写完之后将分为好几个部分发在博客上，以便我自己和他人观看。

数学

矢量分析

指标

克罗内克符号 \(\begin{array}{c} \delta_{ij}=\begin{cases}1\quad&i=j&\\0&i\neq j\end{cases}\\ \end{array}\)，有\(\begin{array}{c} \delta_{ij}=\delta_{ji}\\ \end{array}\)，\(a_i\delta_{ij}=a_j\)

列维-奇维塔符号 \(\begin{array}{c} \varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1\qquad&(i,j,k) 为 (1,2,3) 的偶排列\\-1&(i,j,k) 为 (1,2,3) 的奇排列 \\0&其他\end{cases}\\ \end{array}\)，有\(\begin{array}{c}\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{jki}=\varepsilon_{kij}=1\\\varepsilon_{ikj}=\varepsilon_{kji}=\varepsilon_{jik}=-1\end{array}\)

有性质 \(\begin{array}{c} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}&\\ \end{array}\)，两边乘一个基矢量转化为叉乘即可证明

爱因斯坦求和约定

\(a=a_ix_i=\sum a_ix_i\) 哑标，通常不允许出现第三次，否则要额外说明

以下为学而思讲义上的十分数学的东西

基底：\(e^i\) 刻画线形空间的基本工具。\(x^a=x_ie^i\)，\(a\) 为抽象指标（以下皆为）

定义三个符号 \(e^1,e^2,e^3\) 表示三个基(basis) 并称以下集合为三个基上的 R-自由模,如果这个集合的元素对加法和与\(\mathbb{R}\)的数乘构成线性空间：\(\mathbb{R}^3=\{x_ie^i|x_i\in\mathbb{R},\mathrm{for}\ i=1,2,3\}\)

矢量点乘（映射 \(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}: u^a, v^b \mapsto u^a \cdot v^b\)）

• 双线性：
  \((\lambda u^a+\mu v^b)\cdot w^c=\lambda u^a\cdot w^c+\mu v^b\cdot w^a\)
  \(u^a\cdot(\lambda v^b+\mu w^c)=\lambda u^a\cdot v^b+\mu u^a\cdot w^c\)
• 基正交归一
  \(e^i\cdot e^j=\delta_{ij}\)

由此矢量点乘可表示为

\[\begin{flalign*}&\mathbf{x^a}\cdot \mathbf{y^b}=x_iy_j\delta_{ij}=x_iy_i&\end{flalign*} \]

矢量叉乘（映射 \(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: u^a, v^b \mapsto u^a \times v^b\)）

• 双线性(bilinear):
  \((\lambda u^a + \mu v^b) \times w^c = \lambda u^a \times w^c + \mu v^b \times w^c\)
  \(u^a \times (\lambda v^b + \mu w^c) = \lambda u^a \times v^b + \mu u^a \times w^c\)
• 右手定则:
  \(e^i \times e^j = \varepsilon_{ijk} e^k\)

由此矢量叉乘可表示为

\[\begin{flalign*} &\mathbf x^a\times\mathbf y^b=x_iy_j\varepsilon_{ijk}e^k& \end{flalign*} \]

其实这些矢量的指标为上标还是下标可以随意定，便于区分即可。

接下来说混合积

标量混合积

\[\begin{flalign*}&\mathbf x^a\cdot(\mathbf y^b\times\mathbf z^c)=\mathbf x^a\cdot(\varepsilon_{ijk}y_i z_j e_k)=\varepsilon_{ijk}x_m y_i z_j\delta_{mk}=\varepsilon_{ijk}x_k y_i z_j=\mathbf y^b\cdot(\mathbf z^c\times\mathbf x^a)=\mathbf z^c\cdot(\mathbf x^a\times\mathbf y^b)&\\&(在右手系中交换 i,j,k 后相等即为相等)&\ \end{flalign*} \]

矢量混合积

\[\begin{flalign*}&(\mathbf x^a\times\mathbf y^b)\times\mathbf z^c&\\=\ &(\varepsilon_{ijk}x_i y_j e_k)\times\mathbf z^c&\\=\ &\varepsilon_{kmn}\varepsilon_{ijk}x_iy_jz_me_n&\\=\ &(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})x_iy_jz_me_n&\\=\ &x_my_nz_me_n-x_ny_mz_me_n&\\=\ &x_mz_my_ne_n-y_mz_mx_ne_n&\\=\ &(\mathbf x^a\cdot\mathbf z^c)\mathbf y^b-(\mathbf y^b\cdot\mathbf z^c)\mathbf x^a\end{flalign*}\\ \]

矢量叉乘和标量混合积的结果可以用行列式轻松表示，属于基础内容，在此不写。

张量

我原来觉得我应该很会张量，但是发现不是那么回事，所以我将花费较长的篇幅来叙述简单的张量代数

矢量微分

梯度（grad）：

用极限的定义不美观也不实用，不想写

\(\nabla\) 为哈密顿算子，是一个矢量算符

\(\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}\)

定义在标量场上，为矢量场，描述函数变化最快的方向，证明简单

\(\mathrm{d}f=(\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k})\cdot(\mathrm{d}x \mathbf{i} + \mathrm{d}y \mathbf{j} + \mathrm{d}z \mathbf{k})=(\nabla f)\cdot (\mathrm{d}\mathbf{l})=|\nabla f||\mathrm{d}\mathbf{l}|\cos \theta\)

\(\theta\) 为两个矢量的夹角，当 \(\cos\theta=1\) 即按梯度方向变化时，\(f\) 变化最快

散度（div）：

\(\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\)

定义在矢量场上，为标量场。描述⽮量场 \(A\) 从所讨论点向外发散程度的强弱（源汇特性）。

\(\nabla \cdot \mathbf{A}>0时\),表示该点有散发通量的正源，反之为吸收通量的负源，为 \(0\) 则表示无源。

旋度（curl）

\(\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}\)

定义在矢量场上，为矢量场。描述矢量 \(A\) 在所讨论点涡旋程度的强弱（旋转特性）

常用公式：

\[\begin{flalign*} &\nabla(uv) = u\nabla v + v\nabla u&\\ &\nabla \cdot (u\mathbf{A}) = u(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla u)&\\ &\nabla \times (u\mathbf{A}) = u(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla u) \times \mathbf{A}&\\ &\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot\nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})&\\ &\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})&\\ &\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A})&\\ & \nabla f\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\frac{\text{d}f}{\text{d}u},\ \ \ &\\ & \nabla \cdot \mathbf{A}\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\cdot \frac{\text{d}\mathbf{A}}{\text{d}u},\ \ &\\ & \nabla \times \mathbf{A}\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\times \frac{\text{d}\mathbf{A}}{\text{d}u}, &\\ \end{flalign*} \]

关于直角坐标下的位置矢量

\[\begin{flalign*}&\mathbf r=x_ie_i&\\ &\nabla\cdot\mathbf r=e_j\partial_j x_ie_i=\delta_{ij}\delta_{ij}=3&\\ &\nabla\times\mathbf r=\varepsilon_{ijk}\partial_ix_je_k=\varepsilon_{ijk}\delta_{ij}e_k=\varepsilon_{iik}e_k=0&\\ &\nabla r=\nabla(\sqrt{x^2+y^2+z^2})=\dfrac{\mathbf r}r&\end{flalign*} \]

二阶导数：

梯度的散度

\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\)

为 \(f\) 的拉普拉斯算子

散度的梯度（重要）

\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\)

表明梯度场是无旋场

旋度的梯度（不重要）

\(\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})\not=\nabla \cdot (\nabla A) = \nabla^2 A\)

旋度的散度（重要）

\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0\)

表明旋度场是无源场

旋度的旋度

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}\)

以上公式用 \(\nabla\) 的定义和矢量运算规则可轻松证得。

矢量积分