初中方程、函数与不等式

方程

含有未知数的等式叫做方程。

方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解。

一元一次方程

有且只有一个未知数，且未知数的指数为 \(1\) 的整式方程。

解一元一次方程：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 \(1\)

等式的基本性质：

1. 等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

2. 等式两边同时乘或除以同一个不为 \(0\) 的整式，等式仍然成立。

例题：\(5x+3=3x+5\)

\[\begin{aligned} 5x+3&=3x+5\newline \text{解：}5x+3-3x&=5\newline 2x+3&=5\newline 2x&=2\newline x&=1 \end{aligned} \]

二元一次方程

有两个未知数，且所有未知数的指数为 \(1\)。

单独的二元一次方程例如 \(x+y=1\) 在实数集中有无数个解，如果只讨论整数解，我们把这类方程称为不定方程。

在数学中二元一次方程一般以方程组的形式出现。

解二元一次方程有两种方法：代入消元法和加减消元法。

代入消元法即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，然后转化成一元一次方程。

加减消元法即先用适当的整数乘方程两边，使相乘后一个未知数的系数与另一方程中该未知数的系数互为相反数或相等；然后把两个方程相加或相减，以消去某个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

例题：解方程组 \(\left\{\begin{aligned}&x+y=13~~~~①\newline&2y-x=2~~~~②\end{aligned}\right.\)

代入消元法

\[\begin{aligned} \text{解：由 }①\text{ 得 }x=13-y~~③ \newline \text{把 $③$ 代入 $②$ 得 }，2y-13+y=2,y=5\newline \text{把 $y=5$ 代入 $①$ }，x+5=13，x=8\newline \text{所以原方程组的解为 }\left\{\begin{aligned}&x=8\newline&y=5\end{aligned}\right. \end{aligned} \]

加减消元法

\[\begin{aligned} \text{解：}①\times 2\text{ 得 }2x+2y=26~~③ \newline ③-②\text{ 得 } ，3x=24,x=8\newline \text{把 $x=8$ 代入 $①$ }，8+y=13，y=5\newline \text{所以原方程组的解为 }\left\{\begin{aligned}&x=8\newline&y=5\end{aligned}\right. \end{aligned} \]

分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式

用 \(\frac{A}{B}\) 表示 \(A,B\) 两个整式相除，如果 \(B\) 中含有字母，那么称 \(\frac{A}{B}\) 为分式，其中 \(A\) 为分式的分子，\(B\) 为分式的分母，对于任何一个分式，分母都不能为 \(0\)。

分式的乘除法： \(\frac{b}{a}\times\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac},\frac{b}{a}\div\frac{d}{c}=\frac{b}{a}\times\frac{c}{d}=\frac{bc}{ad}\). 注意，在进行分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先进行因式分解。

分式的加减法：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，如 \(\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}\)。

异分母的分式相加减，先通分（通常取两个分式的最简公分母作为作为它们的共同分母），化成同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，如 \(\frac{b}{a}\pm\frac{d}{c}=\frac{bc}{ac}\pm\frac{ad}{ac}=\frac{bc+ad}{ac}\)。

解分式方程时，我们应先将等式两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后进行求解。

例题：

解方程 \(\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}\).

\[\begin{aligned} \frac{1}{x-2}&=\frac{3}{x}\newline \text{解：}\frac{1}{x-2}\times x(x-2)&=\frac{3}{x}\times x(x-2)\newline x&=3(x-2)\newline 2x&=6\newline x&=3 \end{aligned} \]

再如 \(\frac{1-x}{x-2}=\frac{1}{2-x}-2\)，如果将方程两边同乘 \(x-2\)，解得 \(x=2\)，发现 \(x-2=0\)，说明 \(x=2\) 并不是原方程的根。

如果在方程变形中产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。

为了避免产生增根，解分式方程必须检验，为了简便通常只需要检验所得的根是否使原方程的分母等于零就可以了。如果增根被舍去，则说明无解。

一元二次方程

只含有一个未知数 \(x\) 的整式方程 ，并且都可以化成\(ax^2+bx+c=0（a,b,c \text{ 为常数 }a \not= 0）\)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

其中 \(ax^2,bx,c\) 分别称为二次项、一次项和常数项，\(a,b\) 分别称为二次项系数和一次项系数。

解一元二次方程：

配方法：

如果一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，那么就可以根据平方根的意义，通过开平方求出这个方程的根。

如 \(x^2+6x+9=25\)

\[\begin{aligned} x^2+6x+9&=25\newline \text{解：}(x+3)^2&=25\newline x+3&=\pm5\newline \text{所以 } x_1=2&,x_2=-8 \end{aligned} \]

我们发现上面方程的左边是一个完全平方式，所以可以用公式法进行因式分解。但出题人不会这么好心，如果只是一个普通方程该怎么办？

例 \(1\)：解方程 \(x^2+12x-15=0\)

\[\begin{aligned} x^2+12x-15&=0\newline \text{解：}x^2+12x-15+51&=0+51\newline x^2+12x+36&=51\newline (x+6)^2&=51\newline x+6&=\sqrt{51}\newline \text{所以 }x_1=\sqrt{51}-6&,x_2=-\sqrt{51}-6 \end{aligned} \]

这里解一元二次方程的基本思路是将方程转化成 \((x+m)^2=n\) 的形式，当 \(n\ge 0\) 时，两边开平方便可求出它的根。

例 \(2\)：解方程 \(x^2+8x-9=0\)

\[\begin{aligned} x^2+8x-9&=0\newline \text{解：}x^2+8x&=9\newline x^2+8x+4^2&=9+4^2\newline (x+4)^2&=25\newline x+4&=\pm 5\newline \text{所以 }x_1=1&,x_2=-9 \end{aligned} \]

在例 \(2\) 中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

公式法：

用配方法解方程 \(ax^2+bx+c=0(a\not=0)\)

\[\begin{aligned} ax^2+bx+c&=0\newline \text{解：}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\newline x^2+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\newline x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2&=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\newline (x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\newline \because a\not=0 \therefore 4a^2>0\text{。当 }b^2-4ac&\ge0 \text{ 时，}\frac{b^2-4ac}{4a^2} \text{ 是非负数。}\newline x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\newline x&=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\newline x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} \]

一般的，对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a \not= 0)\)，当 \(b^2-4ac\ge0\) 时，它的根是：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，即 \(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

利用这一求根公式解方程，只需把一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a \not= 0)\) 的系数 \(a,b,c\) 的值代入到求根公式中进行计算即可。这样就把方程的求解问题转化为代数式的值的计算问题，从而可以简化解一元二次方程的过程。

例题：解方程 \(x^2-7x-18=0\)

\[\begin{aligned} \text{解：这里 $a=1,b=-7,c=-18$。}\newline \because b^2-4ac=(-7)^2-4\times1&\times(-18)=121>0\newline \therefore x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2\times1}=\frac{7\pm11}{2}\newline \text{即 }x_1=9,x_2=-2\text{。} \end{aligned} \]

根的辨别式：

我们知道方程 \(ax^2+bx+c=0\) 经过配方可以变成 \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)，因为 \(a \not= 0\)，所以 \(4a^2>0\)，这样由 \(b^2-4ac\) 就可以确定 \(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\) 是正数、零还是负数。

1. 如果 \(b^2-4ac>0\)，这时方程有两个不相等的实数根：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

2. 如果 \(b^2-4ac=0\)，则 \((x+\frac{b}{2a})^2=0\)，这时方程有两个相等的实数根：\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)。

3. 如果 \(b^2-4ac<0\)，而 \((x+\frac{b}{2a})^2\) 不可能是负数，这时方程没有实数根。

以上三个结论反过来也是正确的。

我们把 \(b^2-4ac\) 叫作一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 根的辨别式，通常用希腊字母 \(\Delta\) 表示。

因式分解法：

当一元二次方程的一边为 \(0\)，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将另一边进行因式分解。因为如果 \(a·b=0\)，
那么就可得 \(a=0\) 或 \(b=0\)，所以即可求出一元二次方程的解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。

例题：解方程 \(5x^2=4x\)

\[\begin{aligned} 5x^2&=4x\newline \text{解：}5x^2-4x&=0\newline x(5x-4)&=0\newline x=0 \text{ 或 }5x&-4=0\newline x_1=0&,x_2=\frac{4}{5} \end{aligned} \]

可以发现原来的一元二次方程被转化成了两个一元一次方程。

韦达定理

韦达定理用来确定一元二次方程的根与系数的关系。

我们知道对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a\not=0)\) ，当 \(b^2-4ac\ge0\) 时，它的两个根是 \(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

因此，两个根的和为：

\[\begin{aligned} x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\newline &=-\frac{-b-b+\sqrt{b^2-4ac}-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\newline &=-\frac{2b}{2a}\newline &=-\frac{b}{a} \end{aligned} \]

两个根的积为：

\[\begin{aligned} x_1·x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\newline &=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\newline &=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}\newline &=\frac{4ac}{4a^2}\newline &=\frac{c}{a} \end{aligned} \]

于是得到：如果方程 \(ax^2+bx+c=0(a\not=0)\) 有两个实数根 \(x_1,x_2\)，那么 \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}\)，我们把这条定理叫作韦达定理。

函数

初中课本的定义：如果在某个变化过程中有两个变量 \(x\) 和 \(y\)，并且对于变量 \(x\) 的每一个值，变量 \(y\) 都有唯一的值与它对应，那么我们就称 \(y\) 是 \(x\) 的函数。

一次函数

表达式为 \(y=kx+b\)，其中 \(k,b\) 为常数，且 \(k\not=0\) 则称 \(y\) 是 \(x\) 的一次函数。特别的， \(b=0\) 时函数表达式就变成了 \(y=kx\)，称 \(y\) 是 \(x\) 的正比例函数。

一次函数图象的判定：

根据 \(k\) 和 \(b\) 的符号，可确定直线经过的象限，如下图所示：

准确的说，\(k,b\) 分别表示的是一次函数的斜率和截距。

一次函数的性质

由函数的单调性可知，在一次函数 \(y=kx+b(k\not=0)\) 中，当 \(k>0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大，即单调递增；当 \(k<0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小，即单调递减。

观察几组图象即可推测出： \(\left | k \right |\) 越大，直线与 \(y\) 轴的夹角越小，与 \(x\) 轴的夹角越大，即越趋于垂直。

一次函数图象的移动规律：

将直线 \(y=kx+b\) 沿 \(y\) 轴向上平移 \(n\) 个单位长度，表达式更新为 \(y=kx+b+n\)，沿 \(y\) 轴向下平移 \(n\) 个单位是 \(y=kx+b-n\)。

将直线 \(y=kx+b\) 沿 \(x\) 轴向左平移 \(m\) 个单位，表达式更新为 \(y=k(x+m)+b\)，沿 \(x\) 轴向右平移 \(m\) 个单位则为 \(y=k(x-m)+b\)。

以上规律可以简单地记为：上加下减，左加右减。

确定一次函数的表达式

待定系数法，列二元一次方程并求解

反比例函数

表达式为 \(y=\frac{k}{x}\)，其中 \(k\) 为常数且 \(k\not=0,x\not=0\)

反比例函数的图象为双曲线，即是由两支曲线组成的，当 \(k>0\)，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 \(k<0\) 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

反比例函数 \(y=\frac{k}{x}(k\not=0)\) 的图象，当 \(k>0\) 时，在每一象限内，\(y\) 的值随 \(x\) 值的增大而减小；当 \(k<0\) 时，在每一象限内，\(y\) 的值随 \(x\) 值的增大而增大。

当 \(x\) 值的绝对值无限增大时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 \(x\) 轴；当 \(x\) 值的绝对值无限接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 \(y\) 轴。但永远不会与 \(x\) 轴和 \(y\) 轴相交。

锐角三角函数

如图为 \(\text{Rt}\triangle ABC,\angle C=90^{\circ}\)。

我们发现在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，如果锐角 \(A\) 确定，那么显然 \(\angle A\) 的对边 \(BC\) 邻边 \(AC\) 的比便随之确定，这个比叫做 \(\angle A\) 的正切，记作 \(\tan A\) 或 \(\tan \angle BAC\)。

即：\(\tan A=\frac{\angle A\text{ 的对边}}{\angle A\text{ 的邻边}}\)。

易得在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，如果锐角 \(A\) 确定，那么 \(\angle A\) 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。

\(\angle A\) 的对边与斜边的比叫做 \(\angle A\) 的正弦，记作 \(\sin{A}\) 或 \(\sin \angle BAC\)。

即：\(\sin A=\frac{\angle A\text{ 的对边}}{斜边}\)。

\(\angle A\) 的邻边与斜边的比叫做 \(\angle A\) 的余弦，记作 \(\cos{A}\) 或 \(\cos \angle BAC\)。

即：\(\cos A=\frac{\angle A\text{ 的邻边}}{斜边}\)。

锐角 \(A\) 的正弦、余弦和正切都是 \(\angle A\) 的三角函数。

要点警示：

1. \(\tan A,\sin A,\cos A\) 等都是整体符号，不能写成例如 \(\tan·A\) 的形式。
2. 如果一个角只能用三个大写字母表示的话，要写成例如 \(\tan \angle ABC\) 的形式。

特殊的锐角三角函数值

解直角三角形

由直角三角形已知元素求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

在 \(\text{Rt}\triangle ABC\)，\(\angle C=90^{\circ}\) 。

可得以下边角关系：

\(\angle A+\angle B=90^{\circ}\)

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\sin A=\cos B=\frac{a}{c}，\cos A=sin B=\frac{b}{c}，\tan A=\frac{a}{b}，\tan B=\frac{b}{a}\)

二次函数

一般式为 \(f(x)=y=ax^2+bx+c\)，其中 \(a,b,c\) 为常数且 \(a\not=0\)。

顶点式：\(f(x)=a(x-h)^2+k\)，其中 \(a,h,k\) 为常数且 \(a\not=0\)，\(h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。

零点式：\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)，其中 \(a\) 为常数且不为 \(0\)，\(x_1,x_2\) 为抛物线与 \(x\) 轴的两个交点的横坐标。

二次函数图象是一条抛物线，当 \(a>0\) 时，抛物线的开口朝上；当 \(a<0\) 时，抛物线的开口朝下。

顶点坐标为 \((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)，对称轴表达式为 \(x=-\frac{b}{2a}\)

二次函数的性质

在二次函数中 \(\left|a\right|\) 越小，抛物线的开口越大。

二次函数在实数范围内有且只有一个极值，当 \(a<0\) 时，存在最大值；当 \(a<0\) 时，存在最小值。

二次函数图象的移动规律：

把抛物线沿 \(y\) 轴向上移动 \(m\) 个单位长度，函数表达式变为 \(f(x)=a(x-h)^2+k+c\)。向下则改为减法。

把抛物线沿 \(x\) 轴向左移动 \(n\) 个单位长度，函数表达式变为 \(f(x)=a(x-h+n)^2+k\)，向右则改为减法。

上加下减，左加右减。

确定二次函数表达式：

1. 知道抛物线上任意三点坐标，带入一般式列三元一次方程组求解
2. 知道抛物线与 \(x\) 轴的交点坐标和任意一点坐标（或二次项系数），代入交点式求解
3. 知道二次函数的顶点坐标，代入顶点式

不等式

用符号 \(>,<\) 表示大小关系的式子，叫作不等式。用 \(\not=\) 表示不等关系的式子也是不等式。

使不等式成立的未知数的值叫不等式的解。

不等式的基本性质

1. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

一元一次不等式（组）

一元一次不等式

含有一个未知数且未知数的指数为 \(1\) 的不等式。

如 \(2x-1<3\)，\(x+3\ge 4\)。

解一元一次不等式：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 \(1\)。

一元一次不等式组

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。

使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解。

解不等式组：
①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②找出解集的公共部分（可利用数轴）；③用不等式表示出这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 。

一元一次不等式（组）解应用题

1. 找不等关系
2. 设未知数
3. 列不等式
4. 解不等式
5. 写出答案