JZOJ4209.已经没有什么事了呢(Standard IO)

\[Description \]

小Y 最近开始学习算法姿势，但是因为小R 非常BB，给了她很多B6 题，所以她觉得自己已经没有什么前途了。于是小R 给了她一些稍微简单的题，让她觉得已经没有什么好害怕的了，其中一道是这样的：
给定一个长度为n 只包含左括号和右括号的序列，现在小R 想要知道经过每一个位置的合法子串有多少个。
空串是一个合法的串，如果A 和B 都是合法的串，那么(A) 和AB 都是合法的串。

\[Input/Output \]

第一行输入一个正整数T 表示数据组数。接下来T 行每行一个字符串。

对于每组数据，输出一个整数表示答案，令 \(ans_i\) 为经过第i 个位置的子串个数，那么你需要输出 \(\sum\limits^{N}_{i=1}(i \times ans_i \mod (10^9+7))\) (注意是先求余再求和)

\[Sample \]

1
()()

20

样例解释 :
ans 数组为 \({2,2,2,2}\),所以输出 \(20\)。

\[Data\ Constraint \]

对于 \(60\)% 的数据,\(n \leq 10^4\)

对于 \(100\)% 的数据,\(n \leq 10^6,1 \leq T \leq 10\)

死亡 \(\texttt{FLAG}\) 召唤。

这道题真的是嗨到不行。

考虑一个样例的答案

(()())
133331

比较绕,因为它并不是由父亲的括号传过来,而是对于所有区间都可以。

考虑一个小样例:

(...)(.....)(...)
 NO.1  NO.2 NO.3

我们给它们编个号。由于一个括号的左括号可以匹配右括号,所以它一定(每个括号)是一个合法的子串,因为不合法的话这个右括号就不会被左括号匹配。

考虑两个括号,如 \(NO.3\) 和 \(NO.2\)。如果不管里面有什么东西,那么这个肯定有三的贡献 (\(NO.3\) , \(NO.2\) , \(NO.3+NO.2\))。我们假设 \(NO.3\) 的贡献为 \(x\),\(NO.2\) 的贡献为 \(y\),那么它们的贡献为 \(x+y+(x+y)\)。这样子我们就把 \(NO.3\) 的左括号贡献给了 \(NO.2\) 的左括号。

这样子的话,我们就可以用差分。为什么? 因为这些贡献只是存在于一定的区间,如果不合法了就是要减掉的。减掉和加是同理的。

上面的题解比较抽象。主要是由于贡献的不同,所以题目会变成这样子。其它的自己看代码。