[PKUWC2018]Minimax

小 \(C\) 有一棵 \(n\) 个结点的有根树，根是 \(1\) 号结点，且每个结点最多有两个子结点。

定义结点 \(x\) 的权值为：

1.若 \(x\) 没有子结点，那么它的权值会在输入里给出，保证这类点中每个结点的权值互不相同。

2.若 \(x\) 有子结点，那么它的权值有 \(p_x\) 的概率是它的子结点的权值的最大值，有 \(1-p_x\) 的概率是它的子结点的权值的最小值。

现在小 \(C\) 想知道，假设 \(1\) 号结点的权值有 \(m\) 种可能性，权值第 \(i\) 小的可能性的权值是 \(V_i\)，它的概率为 \(D_i(D_i>0)\)，求：

\[\sum_{i=1}^{m}i\cdot V_i\cdot D_i^2 \]

你需要输出答案对 \(998244353\) 取模的值。

solution

每个结点值能且仅能取到它子树中的所有叶子结点的值。因此我们只需要考虑如何计算每个取值的概率。
考虑一个dp，\(f_{i,j}\)表示第i个结点取到第j小值的概率。
可以很容易得到转移方程\(f_{i,j} = f_{ls[i],j} * (\sum_{k = 1} ^{j-1} {f_{rs[i],k}} * p + \sum_{k = j + 1} ^{cnt} {f_{rs[i],k}} * (1-p)) + f_{rs[i],j} * (\sum_{k = 1}^{j-1} {f_{ls[i],k}} * p + \sum_{k=j+1}^{cnt} {f_{ls[i],k}} * (1-p))\)
本题的精妙之处在于用线段树合并维护了这样的转移。我看到这个式子感觉需要枚举j来转移，感觉没什么好方法。
但是这个转移方程有非常好的性质：左右儿子不能同时取到j小值，这样使得我们在线段树合并的时候，走到最底层的时候一定是某个线段树有结点而另一个没有。
考虑从叶子开始对每个点开一棵权值线段树（动态开点），然后对非叶子结点合并他的两个叶子结点。
在合并的过程中如果维护前缀和后缀和，当（x && !y) 或者(y && !x)时，说明在这个区间内已经不能继续产生转移了（这里不是很会表达）就打标记。
这样做感觉还是很暴力，但是复杂度大大降低了
线段树合并复杂度