第四次作业

一、贪心策略
针对区间选点问题，我采用的贪心策略为：将所有区间按右端点升序排序，遍历排序后的区间，每次选择当前区间的右端点作为选点（若当前区间未被已选点覆盖），跳过所有包含该点的区间，重复此过程直至所有区间被覆盖。
二、贪心选择性质证明
贪心选择性质定义：局部最优选择能推导出全局最优解。证明：假设最优解S的第一个选点覆盖区间[a,b]，设右端点最小的区间为[c,d]。由于d最小，[c,d]未被S的第一个选点覆盖，故S中必有选点y覆盖[c,d]。将S的第一个选点替换为y，得到新解S'：y覆盖[c,d]，且因y ≤ d < b，所有被原选点覆盖的区间仍被y覆盖，S'选点数量与S相同，仍是最优解。由此证明，选择最小右端点区间的右端点作为选点这一局部最优选择，可推导出全局最优解，满足贪心选择性质。
三、时间复杂度分析
排序阶段：代码使用冒泡排序，时间复杂度为O(n²)；遍历选点阶段：仅一次遍历，时间复杂度为O(n)；整体时间复杂度由排序主导，为O(n²)。
若要优化，可改用sort函数排序，排序复杂度降至O(nlogn)。
四、对贪心算法的理解
贪心算法是一种基于 “局部最优” 推导 “全局最优” 的算法思想，它不考虑整体最优，而是每一步都做出当前看起来最好的选择。这种算法的核心优势在于思路简单、实现容易，并且时间复杂度通常较低，在许多场景下能高效地得到最优解。但贪心算法并非适用于所有问题，它必须满足两个关键性质：一是贪心选择性质，即局部最优能推导出全局最优；二是最优子结构性质，即问题的最优解包含其子问题的最优解。
在实际应用中，选择合适的贪心策略是解决问题的关键。不同的贪心策略可能会导致不同的结果，只有经过证明的贪心策略，才能保证得到全局最优解。