DP 题目总结

总结一些动态规划的题目

P4805 [CCC 2016] 合并饭团

看见合并类问题，并且 \(n \le 400\)，容易想到区间 dp。发现直接暴力区间 dp 时间复杂度是 \(O(n^4)\)，无法接受。但我们有一个技巧，对于形如求端点 \(l,r\)，使区间满足某些要求的，可以考虑双指针。于是算法优化为 \(O(n^3)\)。

CF1073E Segment Sum

观察题目要求结合数据范围，容易想到数位 dp，难点在于如何处理不同数字这一限制，因为一个数字可以出现多次，但只算一种。发现数字种类 \(\le 10\)，可以想到使用状态压缩进行处理，问题解决。

P1052 [NOIP 2005 提高组] 过河

做法有很多，可以考虑使用矩阵快速幂加速递推，也可以考虑暴力记录前若干个位置，这样就可以直接跨过连续的空段，问题解决。

CF1606E Arena

对于回合制的情况，可以按回合进行考虑。对于计数类问题，容易想到动态规划。手模一下游戏进程，发现每一回合后会出现两种情况。将变化的量塞入状态中，直接分类讨论，模拟过程即可。

CF1391D 505

这是一个诈骗题，对于 \(n \ge 4\) 的情况，可以通过四个边长为 \(2\) 的小正方体组合成大正方体，哪怕小正方体符合条件，大的也不符合，于是问题就变成了 \(n \le 3\) 的情况。发现每个不同状态对后续决策的影响都很大，于是考虑记录前一个状态，使用状态压缩。最后根据情况暴力 dp 即可。