Week 1

大学习。模拟赛题的话只记录赛时不会 / 猜过去的题。

数据结构

P2048

难度：紫
【模板】炒鸡钢琴。

实际上可以取 \(k\) 个不同的区间，每次要求区间长度在 \([L,R]\) 中。
我们对原序列做前缀和 \(S_i\)，考虑区间的右端点 \(p\)，，那么要求左端点 \(q\) 在 \([p-R+1,p-L+1]\)，我们希望区间和尽量大，也就是找到 \(S_p - S_q\) 最大，其中 \(q \in [p-R,p-L]\)，不妨记这个区间的决策点是 \(x\)，得到的答案为 \(v\)。
那么就得到了一个合法的答案 \((l=p-R,r = p-L,x,p,v)\) 表示右端点是 \(p\)，决策点是 \(x\)，答案是 \(v\)，可决策的区间是 \([l,r]\)，我们把答案塞进大根堆里，然后考虑怎么由这个答案扩展出更好的答案，显然可以在 \([l,x-1]\) 和 \([x+1,r]\) 求解决策点，选最优的 \(x'\)，不妨假设在左边，那么得到新的答案 \((l,x-1,x',p,v')\)，再塞入堆里。这样就在 \(O(k\log n)\) 解决了问题。求解决策点可以使用 sgt 维护。
思考：板子，妙妙 trick。

P1955

难度：下位绿

简单题。先把相等关系全部合并，再依次处理不等关系即可。
思考：naive

P4513

难度：青

最大子段和板子。可以维护每个区间的最大前缀和、最大后缀和、最大子段和，pushup 的时候容易合并。
思考：板子。

P6619

难度：蓝
【模板】树状数组上二分。

妙妙 trick。首先容易在 bit 外面二分做到 \(O(n\log^2 n)\)，获得 \(60\) 分。
可以在 sgt 上二分去掉一只 log，但是常数太大（好像能卡过去），考虑 bit 上二分。
在 bit 上，第 \(i\) 个点储存的实际上是 \((i-lowbit(i),i]\) 的和。然后二分的时候，考虑一个倍增状物，每次考虑 \(2^{20},2^{19},2^{18},\cdots 2^1,2^0\) 能不能跳，怎么快速计算和呢？假设当前在 \(p\)，考虑步长 \(2^k\)，显然 \(2^k\) 肯定是 \(p+2^k\) 的 lowbit，我们现在计算了 \([1,p]\) 的和，需要计算 \((p,p+2^k]\) 的和，然后因为 bit 上节点 \(p+2^k\) 表示的是 \((p+2^k-2^k,p+2^k]\) 的和，所以这个点的值就是对和新的贡献。那么去掉一只 log。

CF438D

难度：蓝

与花神那题类似。取模不好取，考虑暴力就是对的。这是因为你的数 \(x\) 对某个模数 \(p(p < x)\) 取模，有 \(x\bmod p < \frac{x}{2}\)。于是一个数至多 \(\log\) 次，sgt 维护区间最大值即可。
思考：考虑暴力。考虑取模的性质。

随机跳题

P10537

难度：绿

伪交互。思考为什么不会无解，因为你删掉某个叶子后，又会出现新的叶子，于是 \(K=1\) 总是合法的。
由于我们希望 \(K\) 尽量大，显然能划分就划分。考虑一个区间能划分的充要条件：

• 所有志愿者的叶子集合相同。容易哈希判断。
• 掉叶子的顺序合法。可以记录每个叶子的儿子数量，可以做到 \(O(nm)\)。但是我写了类似二次方的东西不知道为啥过了。

思考：刻画出区间合法的充要条件，模拟就能过。

P4053

难度：青

反贪板子。楼房的优先级相同，不妨按截止时间小到大排序。然后每次能建就建，不能就判断扔掉当前一个 \(t_1\) 最大的会不会更优，能就扔掉，可以用大根堆维护。至于为什么要按截止时间排序，考虑邻项交换。
考虑当前用了 \(t\) 点时间。考虑 \(i,i+1\) 要不要交换。交换后更优的情况就是由只能选 \(1\) 个变成两个都能选，刻画一下柿子：

\[t + t_{1,i}+t_{1,i+1} > t_{2,i} \\ t + t_{1,i}+t_{1,i+1} < t_{2,i+1} \]

显而易见，按 \(t_2\) 小到大排序是对的。
思考：这种反悔贪心，重要的就是确定决策顺序，考虑邻项交换。

P11328

难度：青

模拟赛遇到了。考虑最优顺序怎么决定。考虑邻项交换，假定当前等级为 \(w\)，考虑 \(i,i+1\) 交换后会不会更优。更优的情况显然是交换前只能选 \(i\)，交换后 \(i,i+1\) 都能选。刻画一下柿子：

\[w+X_i > L_{i+1} \\ w + X_{i+1} \le L_i \]

整理得到 \(L_{i+1}-X_i < w \le L_i - X_{i+1}\)，即 \(L_{i+1} + X_{i+1} < L_i + X_i\) 时，情况得到改善，于是按 \(L+X\) 升序排决策就是对的。
思考：同上。

P7410

难度：绿

模拟赛遇到了。赛时写了三次方过了，显然是不对的。考虑把 \(<100\) 的数赋为 \(-\inf\)，\(=100\) 的赋成 \(1\)，\(>100\) 的赋为 \(0\)。问题转化成求有多少个子矩阵满足和 \(> 0\)。这不就是 P8783，容易做到三次方。
也可以考虑容斥。记 \(\le 100\) 的答案为 \(f\)，\(< 100\) 的答案为 \(g\)，答案就是 \(f - g\)。两个都相当于求全 \(1\) 矩阵的方案数，这不也就是 P3400，容易做到 \(O(nm)\)。
思考：赋值完后就是好做的。或者考虑容斥考虑容斥考虑容斥。

P13085

难度：青

板子。复习一下。从高到低搜，记录当前在填第 \(u\) 位，上一个数是 \(v\)，前导零和最高位限制为 \(zer = 0/1\)，\(lim = 0/1\)。记忆化搜索即可。

ll dfs(ll u, ll lst, bool lim, bool zer) {
	if (u < 0) return 1ll; 
	if (lst >= 0 && ~f[u][lst][lim][zer]) 
		return f[u][lst][lim][zer]; 
	ll up = lim ? num[u] : 9; 
	ll ans = 0; 
	for (ll i = 0; i <= up; ++ i ) {
		if (abs(i - lst) < 2) continue; 
		if (zer && !i)
			ans += dfs(u - 1, -2, 0, 1); 
		else
			ans += dfs(u - 1, i, lim && (i == up), 0); 
	}
	return f[u][lst][lim][zer] = ans; 
}

思考：板子。

P9745

难度：下位蓝
树形 dp 好题！！！！

先拼好分。

Sub1

\(n \le 12\) 暴力枚举断掉的边。

Sub2

来考虑链的分。\(f_i\) 表示前 \(i\) 个点的答案，记 \(s_i\) 表示异或前缀和，那么枚举上一个断掉了 \((j, i)\)，\(f_i = f_j \times (s_i \oplus s_j)\)，对 \(j \in [1,i-1]\) 求和即可。做到 \(O(n^2)\)。
看到异或就要想到拆位。按位来考虑，如果 \(a_i\) 的第 \(x\) 位是 \(1\)，就与前面该位为 \(0\) 的数有贡献，这个容易维护。那么做到 \(O(n\log V)\)。

Sub3

考虑值域小的情况。\(f_{u,x}\) 表示点 \(u\) 子树内，\(u\) 所在连通块异或值为 \(x\) 的答案（不考虑 \(u\) 所在连通块）。\(g_u\) 表示 \(u\) 子树内的答案（考虑 \(u\) 所在连通块）。
转移的时候，对于 \(u\)，枚举儿子 \(v\)，考虑 \((u,v)\) 要不要断，转移：

\[f_{u,x} = f_{u,x}\times g_v + \sum_y f_{u,x\oplus y} \times f_{v,y} \\ g_u = \sum_x f_{u,x} \times x \]

那么做到 \(O(nV)\)。可以获得 \(64\) 分。

正解

受求链的答案时拆位的启发，考虑拆位。\(f_{u,i,0/1}\) 表示 \(u\) 所在连通块异或值在第 \(i\) 位是 \(0/1\) 的答案（不考虑 \(u\) 所在连通块）。\(g_u\) 不变。

\[f_{u,i,0} = f_{u,i,0} \times g_v + f_{u,i,0} \times f_{v,i,0} + f_{u,i,1} \times f_{v,i,1} \\ f_{u,i,1} = f_{u,i,1} \times g_v + f_{u,i,0} \times f_{v,i,1} + f_{u,i,1} \times f_{v,i,0} \\ g_u = \sum_{bit} f_{u,bit,1} \times 2^{bit} \]

注意 \(f_{u,i,0/1}\) 的计算是并行的，也就是要先计算再赋值。那么做到 \(O(n\log V)\)。

思考：先考虑部分分，写出依赖值域的朴素 dp，然后由于是异或联想到拆位，就做完了。本题是一道很好的树形 dp 练习题。

P9313

难度：下位绿
模拟赛题。

显然每次只会拿 \(1/3\) 个，且 \(3\) 个是连续拿的，那就可以 dp。
思考：第一句话是显然的。第二句话考虑分讨。选的物品必定连续。

P9311

难度：上位绿
模拟赛题。

人类智慧。先随 \(100n\) 个数出来询问，然后得到 \(100\) 个返回数。对于其中任意两个数 \(x,y\)，把 \(\mid x-y \mid\) 放进下一次询问，要去个重。但是这样数不太够，我们需要 \(n\) 个，那就可以多构造几个，构造方法很多样。更好写的是，你每次取 \(3\) 个数出来，这样就肯定够了。

思考：随机返回一个数，那你也随机询问！

P12087

难度：紫
模拟赛题。

考虑朴素数位 dp。可以获得 \(28\) 分。
考虑带修咋办，你发现填数的时候，在数字没有限制的情况下，方案数相同。那么每次不用清空 dp 数组。数据太水可以通过。

ll dfs(ll u, ll lst, bool lim, ll D) {
	if (u < 0) return 1ll; 
	if (!lim && ~f[u][lst]) 
		return f[u][lst]; 
	ll up = lim ? num[u + D] : 9; 
	ll ans = 0; 
	for (ll i = 0; i <= up; ++ i ) {
		if (lst == 1 && i == 3) continue; 
		ans = (ans + dfs(u - 1, i, lim && (i == up), D)) % mod; 
	}
	if (!lim) f[u][lst] = ans; 
	return ans; 
}

while (q -- ) {
	ll op, l, r; cin >> op >> l >> r; 
	if (op == 1) {
		-- l; -- r; 
		cout << dfs(r - l, 0, 1, len - r) << '\n'; 
	}
	else {
		-- l; 
		num[len - l] = r; 
	}
}

P14665

难度：绿

典中典。考虑差分序列，那么极差就相当于在差分数组上求最小子段和 / 最大子段和。然后每次可以单点 \(+1\)，另个点 \(-1\)。
来考虑怎么计算答案，考虑二分答案 \(x\)。那么每次在当前的最小 / 最大子段和超出 \(x\) 时，就需要操作。那么得到需要单点加 / 单点减的操作次数 \(f/g\)，答案即为 \(\max(f,g)\)。注意由于对全局 \(+/-1\) 对答案没有影响，多出来的操作可以扔掉。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
思考：区间加减显然在差分数组上考虑。然后考虑二分。

P6442

难度：青
妙中妙熔池。

\(m \le20\) 显然状压，把每个箱子的玩具压成一个状态，问题转化成选择若干个箱子，使它们状态的或为全集 \(U\)。
考虑 dp，\(f_{i,S}\) 表示前 \(i\) 个箱子，状态为 \(S\)。容易做到 \(O(n2^m)\) 获得 \(50\) 分。
这样没啥前途，有一个妙妙熔池。记 \(f_{S}\) 表示箱子状态是 \(S\) 子集的箱子个数，即 \(f_S \le n\)。转移 \(f_s = \displaystyle \sum_{x \in s} f_x\)，容易用 sosdp 转移。然后记 \(g_S\) 表示固定 \(S\) 内的元素不选，其余随意选。那么记 \(S\) 的补集为 \(T\)，有 \(g_S = 2^{f_T}\)。答案的话显然熔池，一开始答案是 \(g_0\)，然后枚举哪些元素没减，给它减掉，其实就是熔池。答案就是 \(\displaystyle \sum_S (-1)^{|S|} g_S\)。

P9312

难度：黑
模拟赛题。

注意到每个状态，我们买的灯笼照亮范围总是个区间，可以 dp。\(f_{u,x,y}\) 表示当前在山峰 \(u\)，买的灯笼照亮了 \([x,y]\)，记搜可以做到 \(O(nk^2)\) ？？获得 \(60\) 分。

P5956

难度：红
竞选年度最不是题的题。

注意到 \(B^? \bmod (B-1)=1\)，实际上我们要选出尽量多的数使它们的和能被 \(B-1\) 整除。注意到 \(a_i > 0\)，你把所有数都选上再扣掉一个肯定就是对的。。

P1813

难度：青

注意到 \(n\le 100\)，\(e \le 10000\)，考虑把时刻放进状态。\(f_{i,j}\) 表示时刻 \(i\) 在 \(j\)，到达终点的最小时刻。枚举在起点等了多久，转移的时候实际上不用考虑待在原点不动的情况，因为这个东西是为你往下走服务的，可以在走的时候把到达时刻变为 \(\max(i, E_{st})\)。
思考：观察数据范围，然后暴力 dp。还要思考待在原地不动的本质是啥。

P5435

难度：紫
【模板】二进制 gcd。

考虑 binary gcd，假设当前在求 \(\gcd(x,y)\)，大力分讨：

• \(x = y\)，请输入文本。
• \(\min(x,y)=0\)，请输入文本。
• \(2 \mid x\) 或 \(2 \mid y\)，只考虑 \(2\mid x\)，有 \(\gcd(x,y) = \gcd(\frac{x}{2},y)\)。
• \(2 \mid x\) 且 \(2\mid y\)，同上，两边都除掉即可。
• \(2\nmid x\) 且 \(2\nmid y\)，\(\gcd(x,y) = \gcd(x-y,y)\)。

借助位运算快速实现除 \(2\) 的过程，理论上是 \(O(\log)\) 的，实际上跑的很快。

ll bgcd(ll a, ll b) {
	ll x = __builtin_ctz(a); 
	ll y = __builtin_ctz(b); 
	ll z = (x > y) ? y : x; 
	b >>= y; 
	while (a) {
		a >>= x; 
		ll del = b - a; 
		b = (a > b) ? b : a; 
		a = (del < 0) ? -del : del; 
		x = __builtin_ctz(a); 
	}
	return b << z; 
}

思考：科技。

P9401

难度：紫

观察到这个神秘值域，这启发我们啥。首先判掉全选 \(b\) 的情况，至少选 \(1\) 个 \(a\) 那么答案 \(\le 5\times 10^5\)，可以枚举答案。
假设当前在枚举答案 \(x\) 思考啥时候这个答案合法。对于那些 \(x\nmid a_i\) 的 \(i\)，我们需要 \(x\mid b_i\)，于是以 \(a\) 为下标 \(b\) 为值，每次枚举 \(x,2x,3x\)，你需要 \([1,x-1],[x+1,2x-1],\cdots\) 这些区间的 \(\gcd\) 能被 \(x\) 整除，使用 st 表维护 \(\gcd\) 即可。调和级数可知时间复杂度 \(O(n\ln n\log V)\)。注意相同的 \(a\)，把所有的 \(b\) 合并成它们的 \(\gcd\) 即可。因为对于相同的 \(a\)，要么全部取 \(a\)，要么全部取 \(b\)。否则对答案的合法不会有啥影响。合并完之后时间复杂度就变成了 \(O(a\log a\log V)\)，使用二进制 gcd 可以轻松通过。
思考：观察值域的性质。想到枚举答案，考虑答案是否合法就想到要枚举倍数和维护区间 gcd。再考虑优化。

P9364

难度：下位绿

随便猜了个结论还真过了。串的个数少，由于答案肯定是输入的某个串，现在需要判断这个串是否合法。大胆随机 \(300\) 个子串判断是否存在，可以哈希 + map，随便过。
正解的话我们考虑递推。按串的长度小到大排序。然后判断 \(s:[1,n]\) 是否合法，只需判断 \([1,n-1],[2,n]\) 是否合法。可以字典树。
思考：naive

P6240

难度：上位青
【模板】猫树分治。

好题啊。之前模拟赛碰到过这个 trick，现在才知道是猫树分治 \ll

前置知识

假设当前有两个容量为 \(V\) 的背包，你想要进行合并，朴素合并是 \(O(V^2)\) 的。但实际上可以维护前 / 后缀最值做到 \(O(V)\)。

猫树分治

这个算法能解决的问题大概符合以下条件：

• 静态。多组询问
• 难以直接求解询问。但是如果知道区间中点 \(mid\) 到两个端点的答案，可以快速合并来得到整个区间的答案。

在本题里，假设当前在处理区间 \([L,R]\)，处理被 \([L,R]\) 包含的询问。记 \(m\) 表示中点。
对于右端点 \(\le m\) 和左端点 \(>m\) 的区间，递归下去求解。否则我们求出 \(f_{p,V}\) 表示只考虑 \([p,m]\) 物品，容量为 \(V\) 的背包以及 \(g_{p,V}\) 表示只考虑 \([m+1,p]\) 物品，容量为 \(V\) 的背包，然后 \(O(V)\) 进行合并即可。时间复杂度 \(O(qt+tn\log n)\)。
思考：板子。很秒的 trick

CF2259D

难度：下位绿

黄吧可能。一个构造是令一个集合的 \(mex = 0\)，不妨为 \(C\)，只需要满足 \(mex(A)+mex(B)\ge 2\max(mex(A),mex(B))\)，令 \(mex(A)=mex(B)=1\) 即可。所以我们需要至少两个 \(0\)，其它非零元素全部塞进 \(C\)。只有一个 \(0\) 显然无解。
思考：构造构造构造。得对上脑电波吧。

CF1627D

难度：黄

应该后续不会再开这类思维题了。这个题注意到值域小，考虑枚举答案。考虑一个答案是否合法的时候，枚举倍数即可。
思考：简单题。看到值域小就想到要枚举答案。

CF868F

难度：上位蓝

很牛的题目。首先考虑暴力的 dp，\(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成了 \(j\) 段。转移容易做到 \(O(n^2k)\)，具体你需要去动态维护一个区间的贡献，可以双指针。
然后无非就两条路，一条是拆贡献用 ds 优化，一条就是考虑决策点。前者没啥前途，@rimu_awa 大手子猜了个单调的结论，打表发现是对的。在同一层上 dp，然后你对于 \(i\) 右移的时候，有个观察是上一层的决策点 \(j\) 总是单调递增的。
但是你直接维护上一层的决策点指针是不对的，可能当前下一个答案与现在的答案相同。这个时候你就没办法决定要不要移动。
考虑分治，假设求出了 \([l,r]\) 中 \(mid\) 的 dp 值，决策点在 \(p\)，那么 \([l,mid-1]\) 的决策点区间就变成 \([1,p]\)，\([mid+1,r]\) 的决策点区间就变成 \([p,n]\)。这应该算一个通用的写法。
还有个问题，我们怎么快速计算区间贡献？借鉴莫队的想法，暴力就是对的。时间复杂度大概是 \(O(nk\log n)\)。

ll W(ll l, ll r) {
	while (L > l) val += ct[A[-- L]], ++ ct[A[L]]; 
	while (L < l) -- ct[A[L]], val -= ct[A[L ++]]; 
	while (R > r) -- ct[A[R]], val -= ct[A[R --]];  
	while (R < r) val += ct[A[++ R]], ++ ct[A[R]];  
	return val; 
} 
void dfs(ll l, ll r, ll pl, ll pr, ll dep) {
	// 表示在计算 [l, r] 的 dp 值
	// 决策点只会在 [pl, pr] 中
	ll mid = l + r >> 1; 
	ll res = 1e18, pos = -1; 
	for (ll i = pl; i <= min(mid, pr); ++ i ) {
		if (f[i - 1][dep - 1] + W(i, mid) < res) {
			res = f[i - 1][dep - 1] + W(i, mid); 
			pos = i; 
		}
	}
	f[mid][dep] = res; 
	if (mid != l) dfs(l, mid - 1, pl, pos, dep); 
	if (mid != r) dfs(mid + 1, r, pos, pr, dep); 
}

U619821

难度：上位紫 / 下位黑

模拟赛题。没有人类了。
如何做到在做过 P6189 的情况下在本题获得 \(0\) 分？！！