期望

？

事件 \(X\) 发生的概率为 \(P(X)\)，期望为 \(E(X)\)。它的值就是 每一种可能的值乘上对应概率。形式化的，有 \(E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)\)。
\(Var(X)\) 表示随机变量 \(X\) 的方差，它衡量的是 \(X\) 的取值有多“散”，即所有可能值偏离其期望（平均值）的程度。
考虑扔一个标准的筛子，期望就是 \((1+2+3+4+5+6) \times \frac{1}{6} = 3.5\)。
考虑期望的一些性质：

• 对于任意随机变量 \(X,Y\) 及常数 \(a,b\)，有 \(E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\)。无论 \(X,Y\) 是否独立都成立。
• 常数的期望为其本身 \(E(c) = c\)。
• 若 \(X,Y\) 独立，有 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)。
• \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)。

P1365

【模板】期望。

根据 \(E(X+Y) = E(X) + E(Y)\)，期望得分可以递推。
由于我们关心 combo 的个数与总得分，记录 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的期望得分，\(g_i\) 表示以 \(i\) 结尾的期望 combo 长度，考虑转移：

• \(S_i = o\)，有 \(f_i = f_{i-1} + 2g_{i-1}+1\)，\(g_i = g_{i-1}+1\)。
• \(S_i = x\)，有 \(f_i = f_{i-1},g_i = 0\)。
• \(S_i = ?\)，\(f_i\) 变为上述两种情况的均值，\(g_i\) 同理。即 \(f_i = \frac{(f_{i-1} + 2g_{i-1}+1 + f_{i-1})}{2}\)，\(g_i = \frac{(g_{i-1}+1+0)}{2}\)。

时间复杂度 \(O(n)\)。

P1654

与上一题类似的，考虑一下转移。假设当前 combo 数量为 \(X\)，得分的增加量就是 \((X+1)^3 - X^3 = 3X^2 + 3X + 1\)。于是维护 \(X^2,X\) 的期望即可。
注意 \(E(X^2) \ne E(X)E(X)\) 是因为这个公式要求 \(X,X\) 独立，而 \(X,X\) 显然不独立，是相关的。

P3802

深刻。这是“考虑每个元素对答案的贡献”的典型题目。

考虑到期望的可加性，记 \(X_i\) 表示 \([i,i+6]\) 是否满足条件。那么 \(E(X) = \sum_{i=1}^{S-6} E(X_i)\)。分别求 \(E(X_i)\) 即可。
刻画一下 \(E(X_i)\)，容易写出 \(\displaystyle E(X_i) = 7! \times \frac{a_1}{S} \times \frac{a_2}{S-1} \cdots \times \frac{a_7}{S-6} = 7! \times \frac{a_1a_2\cdots a_7}{S(S-1)\cdots (S-6)}\)。
然后由于每个 \(X_i\) 都是一样的，所以 \(E(X_i)\) 均相同。答案即为 \((S-6) \times 7! \times \frac{a_1a_2\cdots a_7}{S(S-1)\cdots (S-6)}\)。

P4316

正推

显然的 dp。记 \(f_i\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 的路径长度的期望，显然还关心 \(g_i\) 表示走到 \(i\) 的概率。然后从 \(1\) 开始走，考虑现在从 \(j\) 走到 \(i\)，边权为 \(w\)：

• \(g_i = g_i + g_j \times \frac{1}{siz_j}\)。
• \(f_i = f_i + (f_j + w \times g_j) \times \frac{1}{siz_j}\)。

那么做完了。时间复杂度 \(O(n)\)。

倒推

记 \(f_i\) 表示从 \(i\) 走到 \(n\) 的路径长度的期望，\(g_i\) 同理。转移方程是不变的