常见 trick 合集

计数

1. 全排列计数的一个套路是设 \(f_i\) 是将前 \(i\) 个数字填入排列的方案数，后面的维度可以按照所求补充，然后考虑新加入一个数对答案产生的贡献。（P6323、P2401）
2. 看到式子题考虑钦定里面的某些量，然后拆式子推出另外一些量的范围，进行计数。（P1493、P4165)
3. 高维前缀和 \(A_{k,i} = \sum_{j \le i} \binom{i-j+k-1}{j-1}A_{0,j}\)。

ds

1. ST 可以线性重构。如果只是在末尾、开头等特定位置可以做到 \(O(\log n)\) 重构。也可以结合根分，当 \(f_{i,j}\) 里 \(2^j \le \sqrt n\)，\(j\) 较小时暴力重构，\(j\) 较大时分裂下去即可。可以证明时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。（P1198、P10680）
2. 珂朵莉树在解决类似总和等简单问题的时候，可以直接在 assign 的时候维护。这样跑的快一些。

数学

1. 看到因子分解题考虑从因子、质因子两个方面入手。一般来讲因子个数不会很大。（ABC461F）
2. \(x = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \cdots p_n^{a_n}\) 的因子和是 \((1+p_1+p_1^2 + \cdots p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2 + \cdots p_2^{a_2}) \cdots (1+p_n+p_n^{2}+\cdots p_n^{a_n})\) 其中每一项都可以用等比数列求和公式算。
3. \(x\) 是 \(y\) 的一个因子（\(x \ne y\)），满足 \(x \le \lfloor \frac{y}{2} \rfloor\)。
4. \(|x-y| \le x \oplus y \le x + y\)。
5. gcd 的衰减是很快的。如果只关心 gcd 的值的话，对于同一个右端点只有 \(\log V\) 种。log 也是同理。
6. \(\gcd(F_n,F_m) = F_{\gcd(n, m)}\)。
7. \(F_n = \displaystyle \frac{(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n - (\frac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5}\)。也就可以推出 \(6\) 柿的结论。

树上问题

1. 每条链上的重链个数只有 \(O(\log)\) 个。（P5391）
2. 树上两条路径有交，满足其中一条的 lca 在另一条上。（P3398）

图论

1. 关心某个集合内任意两点的最短路最值可以考虑二进制分组。

dp

1. 刷表的时候，没有必要一次性把所有后继状态都更新。你发现如果某个后继可以通过另一个后继的后继更新掉，这个后继就没必要更新。这样可以大幅减少状态量（P2831）

序列相关

1. 排列问题可以从逆排列入手。（ARC121E）
2. 当 \(i\) 和 \(2i,2i+1\) 有关系时，可以建树树形 dp。（P2606）

杂项

1. 有且仅有可以转化成最少和最多。（P3084）
2. 贡献函数单调不增的问题可以考虑贪心，用堆维护增量。（P2707）