HDU5492 小奇的矩阵(DP)

小奇的矩阵

【问题描述】

给定一个 n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素 aij 为正整数。
接下来规定：
1.合法的路径初始从矩阵左上角出发，每次只能向右或向下走，终点为右下
角。
2.路径经过的 n+m-1 个格子中的元素为 A1,A2…A(n+m-1)，Aavg 为 Ai 的平
均数，路径的 V 值为(n+m-1) *\ ∑(Ai-Aavg)^2(1<=i<=n+m-1)。
求 V 值最小的合法路径，输出 V 值即可，有多组测试数据。

【输入格式】

第一行包含一个正整数 T，表示数据组数。
对于每组数据：
第一行包含两个正整数 n 和 m，表示矩阵的行数和列数。
接下来 n 行，每行 m 个正整数 aij，描述这个矩阵。

【输出格式】

对于每次询问，输出一行一个整数表示要求的结果

【样例输入】

1
2 2
1 2
3 4

【样例输出】

14

【数据范围】

对于 30%的数据 n<=10，m<=10；
有另外 40%的数据 n<=15 m<=15，矩阵中的元素不大于 5；
对于 100%的数据 T<=5，n<=30，m<=30，矩阵中的元素不大于 30。

解题思路

DP.
枚举的是路径和,不容易想到.
70分:
枚举路径和,设f[s][i][j],s是和.
保证当前路径Ai和==S.
可得:

f(s,i,j)=min{f(s-a[i][j],i,j-1),f(s-a[i][j],i-1,j)}+(av-a[i][j])^2

100分:
其实不用考虑当前枚举的路径和能否满足那个跑的路径和.
因为只有是那个路径时才会得到属于他的最优解.针对每个路径,肯定只有唯一的和才能得到它的最优解.
把式子写下来再展开,就很容易证明.
所以设f[i][j]是到第i行,第j列的最小的值.

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;
const double eps=1e-7;
const int INF=1e9;
const int N=50;
const int Max=1800;
int T;
int n,m;
double res;
double f[N][N];
int kano[N][N];
inline double Pow(double x) {
	return x*x;
}
inline void Kano(int k) {
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=1; j<=m; ++j) {
			f[i][j]=INF;
		}
	double Aavg=double(k)/(n+m-1);
	f[1][1]=Pow(kano[1][1]-Aavg);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=1; j<=m; ++j) {
			if(f[i][j]!=INF) {
				int x=i+1,y=j;
				f[x][y]=min(f[x][y],f[i][j]+Pow(kano[x][y]-Aavg));
				x=i,y=j+1;
				f[x][y]=min(f[x][y],f[i][j]+Pow(kano[x][y]-Aavg));
			}
		}
	res=min(res,f[n][m]);
}
int main(){
	int tim=0;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		tim++;
		res=INF;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=m;++j){
				scanf("%d",&kano[i][j]);
			}
		for(int i=1;i<=Max;++i) Kano(i);
		printf("Case #%d: %d\n",tim,int(res*(n+m-1)+1e-5));
	}
}