<数论>素数筛法

埃氏筛法

介绍

如果我们要得到自然数n以内的全部素数，把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

算法分析

因此如果 x是质数，那么大于x的x的倍数\(2x,3x,4x……kx\)（k是整数）一定不是质数，只要将范围内的数字剔除剩下的就是素数了。是不是很简单^_

代码

对于1~n的数字，我们先建立一个数组isprime并且全部赋值为1

	bool isprime[N];
	memset(isprime, 1, sizeof(isprime));

这里也能用vector动态的开辟（推荐）

	vector<bool>isprime(N, 1);//大小为N 默认为1

然后对根号n以内的素数i 然后对其倍数 将其筛掉，标记数组为0

	for (int i = 2; i * i < N; i++)
	{
		if (isprime[i])//如果i是素数 那么就开始剔除它的倍数
		{
			for (int j = i + i; j < N; j=j+i)
			{
				isprime[j] = 0;
			}
		}
	}

对上述筛法进行说明

根据分解定理：合数一定能被分解成几个质数的乘积

当从小到大遍历到数 i 时，倘若它是合数，则它一定是某个小于 \(i\)的质数 \(x\) 的整数 \(k\),既\(i=x*k\)，故根据此方法的步骤，当最开始遍历到x的时候，开始筛选x的倍数，会将\(isprime[kx]\)的标记为0，所以我们一会把\((i=kx)\)这个数字筛掉，故从小到大，合数都一定能被之前的素数通过加倍从而筛掉

进阶优化

结论：当我们找到素数x的时候，其实从x*x为起点（而不是i*2）进行筛选即可^_。

因为对于 小于x 的整数倍\(k, 2x,3x,4x……kx。\)

1、当k为质数的时候，\(kx\)一定会被小于x的质数k,通过加倍筛掉，

2、当k为合数的时候，k可以分解成$ i*(k/i) * x$ [i为k的质因子,并且k/i为整数],所以 当我们之前对质数i进行加倍的时候，一定会把kx筛掉。

所以我们对素数x进行筛的时候，对于小于\(x^2\)的整数 \(k，2x,3x,4x……x^2\)都已经被筛过了，因此从\(x^2\)开始筛即可。
优化后的代码

	for (int i = 2; i * i < N; i++)
	{
		if (isprime[i])//如果i是素数 那么就开始剔除它的倍数
		{
			for (int j =i*i; j < N; j=j+i)
			{
				isprime[j] = 0;
			}
		}
	}

线性筛法

介绍

埃氏筛实际上存在重复的部分，比如数字30,会被质数3和质数5重复筛掉，就会浪费时间，因此我们需要优化算法从而使每个数字只被筛一次，使得时间复杂度降成 线性的时间复杂度。所以就出现了线性筛。时间复杂度O(n)

算法思路k

​ 数字\(x\),其最小质因数\(k\)，将小于等于\(k\)的所有质数\(p_i\)乘上数字\(x\)，并将\({p_i}*{x}\)的最小质因数标记为\(pi\)，质数的最小质因数是本身。

分析

1. 为什么\({p_i}*{x}\)的最小质因数是\(p_i\)？

   \(p_i<=k\)，\(p_i\)是比\(x\)的最小质因数还小或者相等的质数，乘起来肯定是\(p_i\)是最小质因数了。因为\(p_i<=k\)，所以每个数字只能被筛一次。

2. 如何保证每一个合数一定会被筛掉？

   每一个合数都能分解成质数的乘积，质数\(p_i\)乘上一个合数实际上也是质数在乘质数，并且这个\(p_i\)还是最小的一个质因子，\({p_i}*{x}\)，\(p_i\)和\(x\)的乘积可以构成新的合数，因为\(x\)是递增的，并且\(p_i\)是唯一的，因此\({p_i}*{x}\)只会被筛一次。

代码

int p[N];//最小值质因数
int prime[N];//用来存素数集合 
int cnt=0;//目前素数集的个数
for (int i = 2; i <= N; i++) {
	if (p[i] == 0) {//如果这个数字没被之前数字筛到，那么就是质数
		p[i] = i;
		prime[cnt++] = i;//把这个放到质数集里面
	}
	for (int j = 0; j < cnt; j++) {
		if (prime[j] > p[i] || prime[j] * i > N) {//超出范围了 不需要
			break;
		}
		p[prime[j] * i] = prime[j];
	}
}