<数论>逆元

逆元

概念

逆元：逆元在数学的不同分支里有不同的定义，这边初略介绍逆元的定义(a/b)%mod=(a*k)%mod。
这里k为inv(b)，称为b的逆元,存在的条件是b和mod互质。

应用

逆元到底有什么用呢？？？
我们都知道

但是……当乘号变为除号也适用吗？？

答案是否定的，所以我们就可以利用逆元去解决这个问题

(a/b)%mod=(a*inv(b))%mod=(a%mod* (inv(b)%mod)%mod 这样就能顺利取模啦~

所以我们如何去求inv(b)呢？

逆元的求法

1、费马小定理推论式

推论式：

mod为素数时，(a/b)%mod=a*(b)^(mod-2)%mod

这个推论式可以很好的解决除法取模的问题

实战分析：http://www.xujcoj.org/Home/Contest/problem/cid/758/match_id/12/ctype/1

题意：
首先小学二年级就知道的自然数平方级数的求和通项公式为

由于mod为质素，所以我们利用上述公式得到
再根据取模运算性质得到
(错误公式 思考一下为什么~)

(正确公式)

Ps:这一块利用快速幂取模~
快速幂:

ll qp(ll b, ll p)
{
	ll ans = 1;
	while (p)
	{
		if (p & 1)
		{
			ans = (ans * b) % mod;
		}
		b = (b * b) % mod;
		p >>= 1;
	}
	return ans;
}

下面附上ac代码：

int main()
{
	ll n, t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n;
		cout << (((n % mod *((n + 1)  % mod))  % mod * ((2*n + 1)  % mod)  % mod)  % mod * qp(6, mod - 2)% mod)%mod << endl;
	}
}

对公式用函数优化后：

ll m(ll a, ll b)
{
	return (a % mod) * (b % mod) % mod;
}
int main()
{
	ll n, t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n;
		cout << m(m(m(n, n + 1), 2 * n + 1), qp(6, mod - 2)) << endl;
	}
}

2、拓展欧几里得算法