无向图联通分量总结
无向图联通分量总结
点双联通分量
定义
点集中任意两点间具有点不重复的路径
删去 \(u , v\) 以外的某点后 \(u , v\) 之间仍然联通
割点
定义：删除该点后使得图中极大联通分量数量增加的点
特性：一个点从属于两个点双是该点成为割点的充要条件，且两个点双最多共用一个割点
割点的求解
对该图建立 \(dfs\) 树，经过的边称树边，否则称返祖边，维护两个数组 \(dfn_i\) 和 \(low_i\)，分别保存节点 \(i\) 的 \(dfs\) 序和通过返祖边能够返回到的最早位置，如果节点 \(u\) 的子节点无法通过返祖边返回到早于节点 \(u\) 的节点，则删除节点 \(u\) 后该图将不再联通，即 \(u\) 是割点
特别的，没有任何点可以返回根节点的上方，需统计其子节点数量判断
#include<iostream>
#include<set>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=2e4+5;
const int M=1e5+5;
int n,m,head[N],nxt[M<<1],to[M<<1],cnt=0,dfn[N],low[N],idx=0;
set<int>ans;
void add(int u,int v)
{
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u,int fa)
{
dfn[u]=low[u]=++idx;
int son=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa) continue;
if(dfn[v])//u->v是一条返祖边
low[u]=min(low[u],dfn[v]);//在求解割点时不能用low[v]更新low[u]，否则无法满足“点不重复的路径”
else
{
son++;
Tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(fa!=0&&low[v]>=dfn[u])//u的子节点无法通过返祖边返回比u更早的节点
ans.insert(u);
}
}
if(fa==0&&son>=2)//根节点是割点
ans.insert(u);
}
int main()
{
IOS;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v),add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) Tarjan(i,0);//题目不保证联通
cout<<ans.size()<<'\n';
for(set<int>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
cout<<*it<<' ';
return 0;
}
点双联通分量的求解
由于是按照 \(dfs\) 序遍历，因此遇到割点时，只需要取出已经走过的点，用栈倒序存储
#include<iostream>
#include<stack>
#include<vector>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=5e5+5;
const int M=2e6+5;
int n,m,head[N],nxt[M<<1],to[M<<1],cnt=0,dfn[N],low[N],idx=0,bcccnt=0;
stack<int>stk;
vector<int>ans[N];
void add(int u,int v)
{
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u,int fa)
{
dfn[u]=low[u]=idx++;
stk.push(u);
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa) continue;
if(dfn[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
else
{
Tarjan(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=dfn[u])//找到一个割点
{
bcccnt++;
while(stk.top()!=v)
{
ans[bcccnt].push_back(stk.top());
stk.pop();
}
ans[bcccnt].push_back(v),stk.pop();
ans[bcccnt].push_back(u);//割点可从属于多个点双，所以仍保留在栈内
}
}
}
if(fa==0&&!head[u])//孤立点也算一个点双
ans[++bcccnt].push_back(u);
}
int main()
{
IOS;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
if(u!=v)//注意自环
add(u,v),add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) Tarjan(i,0);
cout<<bcccnt<<'\n';
for(int i=1;i<=bcccnt;i++)
{
cout<<ans[i].size()<<' ';
for(vector<int>::iterator it=ans[i].begin();it!=ans[i].end();it++)
cout<<*it<<' ';
cout<<'\n';
}
return 0;
}
边双联通分量
定义
点集中任意两点具有边不重复的路径
删去任意一条边后，该子图仍然联通
特性
一个点只可能从属于一个边双
割边
定义：删除该边后使得图中极大联通分量数量增加的边
割边的求解
内容大体和求解割点相同，区别在于：
-
对于返祖边 \(u->v\) ，可以使用 \(low_v\) 更新 \(low_u\) ，不会违背“边不重复”的原则
-
重边需单独考虑，\(u,v\) 之间有重边的情况下删去一条不影响二者间的联通性
#include<iostream>
#include<vector>
#include<utility>
#include<algorithm>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=155;
const int M=5005;
int n,m,head[N],nxt[M<<1],to[M<<1],cnt=0,dfn[N],low[N],idx=0;
vector<pair<int,int>>ans;
void add(int u,int v)
{
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u,int fa)
{
dfn[u]=low[u]=++idx;
int cnt=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa)//注意重边
{
cnt++;
if(cnt==1) continue;
}
if(!dfn[v])
Tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
else
low[u]=min(low[u],low[v]);//区别
if(low[v]>dfn[u])//注意此处不可取等，相等时删去u，v之间的连边没有影响
ans.push_back({min(u,v),max(v,u)});
}
}
bool cmp(pair<int,int>x,pair<int,int>y)
{
if(x.first==y.first) return x.second<y.second;
return x.first<y.first;
}
int main()
{
IOS;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v),add(v,u);
}
Tarjan(1,0);
sort(ans.begin(),ans.end(),cmp);
for(vector<pair<int,int>>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
cout<<(*it).first<<' '<<(*it).second<<'\n';
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号