OI集训 Day30

Content：模拟赛
Date：2025.8.15

Problem-A 图书配对

题目描述

给定 \(n\) 本图书，定义 \(merge(a_{i},a_{j})\) 表示 \(a_i\), \(a_{j}\) 直接拼接得到的结果，求满足 \(merge(a_{i},a_{j}) \mid 9\) 的个数（一个数只能取一次）。

解题思路

我们可以运用小学奥数的知识，如果一个数能被 \(9\) 整除，当且仅当这个数的各个数位之和能被 \(9\) 整除，知道这个之后就是一个很经典的问题了。

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Problem-B 菜品搭配

题目描述

给定数组 \(a\)，求 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} (a_{i} \oplus a_{j}) \times (a_{j} \oplus a_{k})\)。

解题思路

由于是二进制意义下的异或运算，很容易想到拆位，计算每一位的贡献。而且求的是三元组 \((i,j,k)\)，所以我们枚举 \(j\) 的位置，考虑 \(j\) 左右两边的贡献。

对于异或 相同为 0，不同为 1 的运算法则，我们可以发现，\(i,k\) 对于 \(j\) 的贡献是左右两边与 \(j\) 不相同的位置的个数的乘积，所以我们对于每一个位置计算贡献即可。

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Problem-C 课程推荐

题目大意

给你一个数组 \(a\)，其中 \(a_i\) 表示到达 \(i\) 这个位置后你可以到达 \([i+1,a_{i}]\) 中的任何一个位置，求 \(\forall i,j\) 互相可达的最小步数之和。

解题思路

赛时没有想到是 \(dp\)，直接写了个 Floyd (20pts) + 部分分(10pts)。

正解是定义 \(d_{i,j}\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 需要的最少步数。容易发现：

• 若 \(j \in [i + 1, a_{i}]\)，则 \(d_{i,j}=1\)。
• 若 \(j > a_{i}\)，则 \(d_{i,j} = d_{k,j} + 1\)，其中 \(k\) 表示 \(\max_{t\in[i + 1, a_{i}]} a_t\) 所在的位置。

然后记 \(\displaystyle f_{i} = \sum_{j=i}^{n} d_{i,j}\)，则 \(f_{i} = f_{p} + (n - i) - (a_{i} - p)\)。答案即为 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} f_{i}\)。

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终于结束啦~